高次元の正多面体と平行多面体の元素定理についてのコラム

　　「４次元正多胞体の元素定理」

　　「超立方体の基本単体の切断」

　　「ｎ次元の立方体と直角三角錐（その１２）」

において，

(1)正多面体の元素定理を高次元正多面体に一般化することは可能であること

(2)平行多面体の元素定理を高次元平行多面体に一般化することは興味深い問題であるが，容易ではないこと

を説明した．これらの記事をお読み下さった一松信先生のコメントを紹介したい．

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【１】４次元の特殊性について

　正単体には自己双対といった性質がありますが，基本単体には関係なさそうです．また，３次元の場合は，偶然，半立方体が正四面体という特別な関係がありますが，このような性質は４次元以上では期待できません．

　４次元の場合，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体が仲のよい一族であり，これらの基本単体を分解した相互の図形からいろいろと有益な準正多面体が構成できそうに思えます．たとえば，正１６胞体の基本単体と正２４胞体の基本単体とは合同ではないがよく似た形です．適当に拡大すると１０本の辺の長さの比は，長い方から

　　２√３，３，２√２，√６，√６，２，√３，√３，√２，１

となり，また，１０枚の面も１０組の互いに合同な面の組み替えになっています．うまく切って並べ替えれば分解合同かもしれません．

　正８胞体の基本単体，辺長は

　　２，√３，√３，√２，√２，√２，１，１，１，１

とは形が違いますが，これも分解合同になるかもしれません．もちろんこれは４次元の特殊性で，ｎ≧５には通用しないと思います．正５胞体は「カヤの外」のような印象です．

　５次元以上になるとますます直観がきかず，わかりにくくなって，目下の所「五里霧中」です．

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