ペンタドロンは立方体の基本単体をその最長辺の垂直２等分面で切断した立体である．ペンタドロンをうまく組み合わせると，立方体・菱形十二面体・切頂八面体などの空間充填形（平行多面体）ができるが，平行多面体がこのような１種類の素材だけで組み立てることができるのは驚きである．

　その高次元版のひとつが（その２）〜（その４），（その６）〜（その８）で求めた立方体系（permutahedron）の元素である．４次元（一般に偶数次元）のときには，この超平面はｎ／２次元の胞の中心を通り，一種の退化を生じるのであった．

　ところで，準正多面体による４次元空間充填には

(1)３次元の六角柱とケルビン立体を組み合わせたケルビン立体の４次元版である正５胞体系（１１１１）

(2)３次元の立方体とケルビン立体を組み合わせた正１６胞体・８胞体系（１１１０）

がある．

　前者（正単体系）は単独空間充填図形となる原始的平行多面体である．一方，後者（立方体系：permutahedron）は単独では空間充填できず，ｎ次元立方体と組み合わせると空間充填可能となる．もちろん両者は異なる多胞体であるが，３次元の場合のみ同じ切頂八面体を回転させた形状になる．すなわち，両者は３次元の場合は一致するが，４次元以上の場合は一致しない．今回のコラムでは前者（正単体系）＝原始的平行多面体の元素を求めてみることにしたい．

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【１】ｎ次元正単体の二面角

　線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　Ｐ（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

　重心から各頂点までの距離は一定だから

　　｜ＰＶ1｜＝｜ＰＶ2｜＝・・・＝｜ＰＶn+1｜

　　ＰＶ1＝（１−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

　　ＰＶn+1＝（ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１），ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

　　｜ＰＶn+1｜＝｜ＰＶ1｜＝｜ＰＶ2｜＝（ｎ／（ｎ＋１））^1/2

としても同じである．二面角は

　　ｃｏｓθ＝（ＰＶ1，ＰＶ2）／｜ＰＶn+1｜^2＝−１／ｎ

と計算される．

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【２】正単体の体積と基本単体

　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

であるから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになる．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

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　また，

　　Ｈn＝√（（ｎ＋１）／ｎ）

　　Ｈ2＝√（３／２），Ｈ3＝√（４／３），・・・，

より，基本単体の座標は

　　Ｈn／（ｎ＋１）＝√（（ｎ＋１）／ｎ）／（ｎ＋１）＝√（１／ｎ（ｎ＋１））

で与えられるから

　　ｐ0（０，０，・・・，０）

　　ｐ1（√（１／２），０，０，・・・，０）＝（ａ1，０，０，・・・，０）

　　ｐ2（√（１／２），√（１／６），０，・・・，０）＝（ａ1，ａ2，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（√（１／２），√（１／６），√（１／１２），・・・，√（１／ｎ（ｎ−１）），０）＝（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，０）

　　ｐn（√（１／２），√（１／６），√（１／１２），・・・，√（（１／ｎ（ｎ＋１））＝（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn）

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【３】超平面での切断

　まず，ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

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【４】正単体系の基本単体の切断

　コラム「切頂・切稜型多面体の計量（その２）」において，切頂優位型（ｓ＝１／６，ｔ＝３ｓ）として，正四面体の頂点と稜線の両方をトランケートして，辺の長さが等しくなるように調整すると，正四面体→切頂八面体となることを述べた．

［補］正八面体→大菱形立方八面体，正二十面体→大菱形１２・２０面体

　それでは，正ｎ＋１胞体に対してどのような調整を施せば，平行多胞体である２（２^n−１）胞体が得られるのであろうか？

　　（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn）＝（√（１／２），√（１／６），√（１／１２），・・・，√（１／ｎ（ｎ＋１）））

とおくと，基本単体を切断する平面は

(1)頂点ベクトルｐ0ｐnに垂直で，ｐ1（ｔ＝３ｓ）を通るｎ次元超平面：

　　ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝１／２

(2)辺心ベクトルｐ1ｐnに垂直でｔ＝１／６＝（１／√２，√６／１２，０，・・・，０）を通るｎ次元超平面：

　　ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝１／１２

で表される．

　この切断によって得られる領域はc-squadronのｎ次元版であり，それをｐ1ｐnを通る超平面で２等分して得られる領域はペンタドロンのｎ次元版となる（はずである）．ここでは切断(1)だけを考えるが，ｐ0ｐnと(1)との交点を

　　ｑ（ａ1ｋ，ａ2ｋ，ａ3ｋ，・・・，ａnｋ）

とすると，ｐ1を通ることより

　　ｋ＝（ｎ＋１）／２ｎ

　このとき，

　　（ｐ2ｐn）^2＝（ｎ−２）／３（ｎ＋１）

　　（ｑｐn）^2＝（ｎ−１）^2／４ｎ（ｎ＋１）

であるから，ｐ2ｐn＝ｑｐnとなるのはｎ＝３のときだけで，一般に対称図形にならないことがわかる．また，ｐ2ｑ⊥ｐ1ｐnとなるのもｎ＝３のときだけに限られる．

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【５】まとめ

　超立方体の基本単体は扱いやすい対象であった．それに対して正単体はかなり異質である（３次元のときは例外）．それだけに３次元の場合のアナロジーで高次元図形をうまく二等分（ないし有限個等分）使用とするのに無理があるのかもしれない．

　原始的平行多面体の元素問題に対しては目下の所「五里霧中」であり，３次元の場合のアナロジーで考えるのは無理ではないかといった消極的な印象を拭えないし，危険な気さえする．一般のｎ次元にせず，まずｎ＝４とかｎ＝５の場合を具体的に入念に調べてみるのが第一歩なのではないかと感じる次第である．

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