ペンタドロンは立方体の基本単体をその最長辺の垂直２等分面で切断した立体である．ペンタドロンを使えば５種類ある平行多面体をすべて作ることができる．ペンタドロンをσで表すことにするが，立方体はσ12（σ96），６角柱はσ144，菱形１２面体はσ192，長菱形１２面体はσ384，切頂８面体はσ48という分子構造になっている．
すなわち，ペンタドロンをうまく組み合わせると，立方体・菱形十二面体・切頂八面体などの空間充填形（平行多面体）ができるが，平行多面体がこのような１種類の素材だけで組み立てることができるのは驚きである．
３次元平行多面体の場合，立方体の基本単体を２等分することによって切頂八面体の元素ができ，それを使うと他の平行多面体も作ることができた．ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となること（ミンコフスキーの定理）より，ｎ次元の立方体と切頂八面体に共通する元素を作ることができれば，それがｎ次元平行多面体の元素となりうる可能性は大である．
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【１】ｎ次元の立方体の基本単体
ｎ次元の立方体の基本単体数ｇは
ｇ＝２^n・ｎ！
となるが，辺の長さはどうなるのだろうか？
ｎ次元立方体の頂点を（±１，±１，・・・，±１）とおくと，この超立方体の稜の長さは２である．面心の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，±１）
で，
ｏn-1（１，０，・・・，０）
を代表とすることができる．一方，体心ｏnの座標は
ｏn（０，０，・・・，０）
であるから，ｏn-1ｏn＝１
同様に
ｏn-2（１，１，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｏ1（１，１，１，・・・１，０）
ｏ0（１，１，１，・・・１，１）
であるから，
ｏ0ｏ1＝１，ｏ1ｏ2＝１，・・・，ｏn-1ｏn＝１
ｏ0ｏn＝√ｎ，ｏ1ｏn＝√（ｎ−１），・・・，ｏn-1ｏn＝１
などとなる．
稜数は（ｎ＋１）ｎ／２であるから，残りも求めてみると
ｏ0ｏ0＝０，ｏ1ｏ0＝１，ｏ2ｏ0＝√２，・・・，ｏnｏ0＝√ｎ
ｏ0ｏ1＝１，ｏ1ｏ1＝０，ｏ2ｏ1＝１，・・・，ｏnｏ1＝√（ｎ−１）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｏ0ｏn-1＝√（ｎ−１），ｏ1ｏn-1＝√（ｎ−２），ｏ2ｏn-1＝√（ｎ−３），・・・，ｏnｏn-1＝１
ｏ0ｏn＝√ｎ，ｏ1ｏn＝√（ｎ−１），ｏ2ｏn＝√（ｎ−２），・・・，ｏnｏn＝０
より，辺の長さはすべて１，√２，・・・，√ｎである．
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【２】ｎ次元の立方体の基本単体の分割
立方体［０，１］^nに対して，
ｏn（０，０，０，・・・０，０）
ｏ0（１，１，１，・・・１，１）
を結ぶ対角線の中点
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
を通る超平面
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘn＝ｎ／２
と各辺の交点を求めてみることにします．
計算の都合上，ｐk＝ｏn-kとおきます．
ｐ0（０，０，・・・，０）
ｐ1（１，０，・・・，０）
ｐ2（１，１，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn-1（１，１，１，・・・１，０）
ｐn（１，１，１，・・・１，１）
ですから，直線ｐ0ｐnは
ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn
で表されます．したがって，ｐ0ｐnとの交点は
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
直線ｐ1ｐnは，
ｘ1＝１，ｘ2＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ1ｐnとの交点は（１，（ｎ−２）／２（ｎ−１），・・・，（ｎ−２）／２（ｎ−１））
直線ｐ2ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，（ｎ−４）／２（ｎ−２），・・・，（ｎ−４）／２（ｎ−２））
ｎ＝３の場合は（ｎ−４）／２（ｎ−２）＜０となって交わらないことがわかります．ｎ＝４の場合は（１，１，０，０）となってｐ2と一致します．
直線ｐ3ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−６）／２（ｎ−３），・・・，（ｎ−６）／２（ｎ−３））
ｎ＝４の場合は（ｎ−６）／２（ｎ−３）＜０となって交わりません．
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次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ2＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｎ／２となって，ｎ＞２のとき交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ2は
ｘ1＝ｘ2，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｎ／４となって，ｎ≦４のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（１，１，０，０）となって，ｐ2と一致します．
直線ｐ0ｐ3は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／６となって，ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（２／３，２／３，２／３，０）となります．
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次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ2＝（ｎ−２）／２．したがって，交点は
（１，（ｎ−２）／２，０，・・・，０）
となります．２≦ｎ≦４のときのみ交わり，ｎ＝４のときｐ2と一致します．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝（ｎ−２）／４．交点は
（１，（ｎ−２）／４，（ｎ−２）／４，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝４のとき交点は（１，１／２，１／２，０）となります．
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ｐ2を通る直線ｐ2ｐ3では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝（ｎ−４）／２．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／２，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦６のときのみ交わり，ｎ＝４のときｐ2と一致します．
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【４】４次元の場合の元素の形
ペンタドロンの空間座標は，基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０）
ｐ1（１，０，０）
と４交点
（１／２，１／２，１／２）
（１，１／４，１／４）
（１，１／２，０）
（３／４，３／４，０）
である．
それでは，４次元の元素の形はどうになっているのだろうか？ 少なくともそれを取り囲む６個の胞（３次元の立体）の形だけでも調べることは意味があるだろう．
基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
と前節で求めた４交点
（１／２，１／２，１／２，１／２）
（１，１／３，１／３，１／３）
（２／３，２／３，２／３，０）
（１，１／２，１／２，０）
はすでにわかっている．また，４次元の立方体の基本単体の稜数は１０であるから，これ以外に交点ははない．
したがって，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点
ｑ0（０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．これが７６８個で４次元立方体を組み立てることができる．
辺の長さは
ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝１，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（４／３），ｑ0ｑ6＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝１，ｑ1ｑ4＝√（１／３），ｑ1ｑ5＝１，ｑ1ｑ6＝√（１／２）
ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝√（２／３），ｑ2ｑ5＝√（２／３），ｑ2ｑ6＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（１／３），ｑ3ｑ5＝√（１／３），ｑ3ｑ6＝√（１／２）
ｑ4ｑ5＝２／３，ｑ4ｑ6＝√（１／６），ｑ5ｑ6＝√（１／６）
それに対して，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≧０の部分をとると，７頂点
ｑ0（１，１，１，１）
ｑ1（１，１，１，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ5は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．辺の長さは
ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝１，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（４／３），ｑ0ｑ6＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝１，ｑ1ｑ4＝１，ｑ1ｑ5＝√（１／３），ｑ1ｑ6＝√（１／２）
ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝√（２／３），ｑ2ｑ5＝√（２／３），ｑ2ｑ6＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（１／３），ｑ3ｑ5＝√（１／３），ｑ3ｑ6＝√（１／２）
ｑ4ｑ5＝２／３，ｑ4ｑ6＝√（１／６），ｑ5ｑ6＝√（１／６）
となって辺の長さは変わらず，基本単体の２分割体になっていることがわかる．
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【５】５次元の場合の元素の形
直線ｐ1ｐnは，
ｘ1＝１，ｘ2＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ1ｐnとの交点は（１，（ｎ−２）／２（ｎ−１），・・・，（ｎ−２）／２（ｎ−１））．ｎ＝５の場合は（１，３／８，３／８，３／８，３／８）となります．
直線ｐ2ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，（ｎ−４）／２（ｎ−２），・・・，（ｎ−４）／２（ｎ−２））
ｎ＝３の場合は（ｎ−４）／２（ｎ−２）＜０となって交わらないことがわかります．ｎ＝５の場合は（１，１，１／６，１／６，１／６）となります．
直線ｐ3ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−６）／２（ｎ−３），・・・，（ｎ−６）／２（ｎ−３））
ｎ＝５の場合は（ｎ−６）／２（ｎ−３）＜０となって交わりません．
直線ｐ4ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−８）／２（ｎ−４），・・・，（ｎ−８）／２（ｎ−４））
ｎ＝５の場合は（ｎ−８）／２（ｎ−４）＜０となって交わりません．
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次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ2＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｎ／２となって，ｎ＞２のとき交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ2は
ｘ1＝ｘ2，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｎ／４となって，ｎ≦４のときのみ交わります．
直線ｐ0ｐ3は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／６となって，ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（５／６，５／６，５／６，０，０）となります．
直線ｐ0ｐ4は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／８となって，ｎ≦８のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（５／８，５／８，５／８，５／８，０）となります．
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次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ2＝（ｎ−２）／２．したがって，交点は
（１，（ｎ−２）／２，０，・・・，０）
となります．２≦ｎ≦４のときのみ交わります．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝（ｎ−２）／４．交点は
（１，（ｎ−２）／４，（ｎ−２）／４，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（１，３／４，３／４，０，０）となります．
直線ｐ1ｐ4は
ｘ1＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝（ｎ−２）／６．交点は
（１，（ｎ−２）／６，（ｎ−２）／６，（ｎ−２）／６，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦８のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（１，１／２，１／２，１／２，０）となります．
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ｐ2を通る直線ｐ2ｐ3では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝（ｎ−４）／２．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／２，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦６のときのみ交わります，ｎ＝５のとき交点は（１，１，１／２，０，０）となります．
ｐ2を通る直線ｐ2ｐ4では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝ｘ4＝（ｎ−４）／４．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／４，（ｎ−４）／４，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦８のときのみ交わります，ｎ＝５のとき交点は（１，１，１／４，１／４，０）となります．
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ｐ3を通る直線ｐ3ｐ4では
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ4＝（ｎ−６）／２．したがって，交点は
（１，１，１，（ｎ−６）／２，０，・・・，０）
となります．６≦ｎ≦８のときのみ交わります．
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基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０，０）
ｐ3（１，１，１，０，０）
ｐ4（１，１，１，１，０）
ｐ5（１，１，１，１，１）
と前節で求めた９交点
（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）
（１，３／８，３／８，３／８，３／８）
（１，１，１／６，１／６，１／６）
（５／６，５／６，５／６，０，０）
（５／８，５／８，５／８，５／８，０）
（１，３／４，３／４，０，０）
（１，１／２，１／２，１／２，０）
（１，１，１／４，１／４，０）
（１，１，１／２，０，０）
から，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２の部分をとると，１２頂点
ｑ0（０，０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，３／８，３／８，３／８，３／８）
ｑ5（１，１，１／６，１／６，１／６）
ｑ6（５／６，５／６，５／６，０，０）
ｑ7（５／８，５／８，５／８，５／８，０）
ｑ8（１，３／４，３／４，０，０）
ｑ9（１，１／２，１／２，１／２，０）
ｑ10（１，１，１／４，１／４，０）
ｑ11（１，１，１／２，０，０）
が元素の頂点となる．ｑ3〜ｑ11は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２上にある．これが７６８０個で５次元立方体を組み立てることができる．
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【６】ｎ次元の場合の元素の形
ｎ次元立方体の基本単体の２分割体は，ｎ＝３のときｖ＝６，ｎ＝４のときｖ＝７，ｎ＝５のときｖ＝１２であった．ｖ（ｎ）は如何に？ そこで，超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２が直線ｐiｐjと交差するための条件を求めてみよう．端点で交差する場合は数えないことにする．
ｐ0 ｐ1 ｐ2 ｐ3 ｐ4 ｐ5
ｐ1 ｎ＜２ − − − − −
ｐ2 ｎ＜４ ２＜ｎ＜４ − − − −
ｐ3 ｎ＜６ ２＜ｎ＜６ ４＜ｎ＜６ − − −
ｐ4 ｎ＜８ ２＜ｎ＜８ ４＜ｎ＜８ ６＜ｎ＜８ − −
ｐ5 ｎ＜10 ２＜ｎ＜10 ４＜ｎ＜10 ６＜ｎ＜10 ８＜ｎ＜10 −
ｐ6 ｎ＜12 ２＜ｎ＜12 ４＜ｎ＜12 ６＜ｎ＜12 ８＜ｎ＜12 10＜ｎ＜12
［１］ｎ＝３のとき
ｐ0 ｐ1 ｐ2
ｐ1 ｎ＜２ − −
ｐ2 ｎ＜４ ２＜ｎ＜４ −
ｐ3 ｎ＜６ ２＜ｎ＜６ ４＜ｎ＜６
の表の条件を満たすのは４点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3≦３／２を満たすのは［３／２］＋１＝２点で，合計６点．
［２］ｎ＝４のとき
ｐ0 ｐ1 ｐ2 ｐ3
ｐ1 ｎ＜２ − − −
ｐ2 ｎ＜４ ２＜ｎ＜４ − −
ｐ3 ｎ＜６ ２＜ｎ＜６ ４＜ｎ＜６ −
ｐ4 ｎ＜８ ２＜ｎ＜８ ４＜ｎ＜８ ６＜ｎ＜８
の表の条件を満たすのは４点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２を満たすのは［２］＋１＝３点で，合計７点．
［３］ｎ＝５のとき
ｐ0 ｐ1 ｐ2 ｐ3 ｐ4
ｐ1 ｎ＜２ − − − −
ｐ2 ｎ＜４ ２＜ｎ＜４ − − −
ｐ3 ｎ＜６ ２＜ｎ＜６ ４＜ｎ＜６ − −
ｐ4 ｎ＜８ ２＜ｎ＜８ ４＜ｎ＜８ ６＜ｎ＜８ −
ｐ5 ｎ＜10 ２＜ｎ＜10 ４＜ｎ＜10 ６＜ｎ＜10 ８＜ｎ＜10
の表の条件を満たすのは９点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２を満たすのは［５／２］＋１＝３点で，合計１２点．
［４］ｎ＝６のとき
ｐ0 ｐ1 ｐ2 ｐ3 ｐ4 ｐ5
ｐ1 ｎ＜２ − − − − −
ｐ2 ｎ＜４ ２＜ｎ＜４ − − − −
ｐ3 ｎ＜６ ２＜ｎ＜６ ４＜ｎ＜６ − − −
ｐ4 ｎ＜８ ２＜ｎ＜８ ４＜ｎ＜８ ６＜ｎ＜８ − −
ｐ5 ｎ＜10 ２＜ｎ＜10 ４＜ｎ＜10 ６＜ｎ＜10 ８＜ｎ＜10 −
ｐ6 ｎ＜12 ２＜ｎ＜12 ４＜ｎ＜12 ６＜ｎ＜12 ８＜ｎ＜12 10＜ｎ＜12
の表の条件を満たすのは９点．さらに，基本単体の頂点でｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋≦３を満たすのは［３］＋１＝４点で，合計１３点．
ここまでくれば結論を下すのは簡単である．
［１］ｎが奇数の場合
ｖ（ｎ）＝［（ｎ＋１）／２］^2＋［ｎ／２］＋１
［２］ｎが偶数の場合
ｖ（ｎ）＝［ｎ／２］^2＋［ｎ／２］＋１
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【７】ｎ次元の場合の元素の胞数
基本単体の胞数はｎ＋１である．前節では基本単体の２分割体の頂点数ｖ（ｎ）を求めたが，胞数ｃ（ｎ）については未解決である．とはいえ辺数ｅ（ｎ），面数ｆ（ｎ），・・・と地道に求めることは難しそうである．ｃ（ｎ）は簡単な形に表せるのだろうか？
奇数次元では
（ｎ＋１）＋１＝ｎ＋２胞体
になると思われるが，偶数次元では割面が基本単体の頂点ｐkを通る．ｎ＝２のときｐ1，ｎ＝４のときｐ2，ｎ＝６のときｐ3を通るが，割面は基本単体の１頂点しか通らないことがわかる．ｋ＝ｎ／２，すなわち，一般に偶数次元）のときには，この超平面はｎ／２次元の胞の中心を通り，一種の退化を生じるのである．
偶数次元での胞数はｎ＋１胞体と予測されるが，ｎ＝４の場合を考察してみよう．４次元多胞体というのは３次元の多面体が２つでひとつの側面を共有しながらつながったものである．
ｑ0（０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
のｑ2，ｑ3，ｑ4，ｑ5，ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．この超平面をπで表すことにする．
超平面ｘ4＝０上にはｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5の４点が載る．すなわち，ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ4＝０で表される（πと２点を共有）．
超平面ｘ1＝１上にはｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6の４点が載る＝ｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6を囲む胞は超平面ｘ1＝１で表される（πと３点を共有）．さらに
ｑ0，ｑ2，ｑ3，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ1−ｘ2＝０で表される（πと３点を共有）．
ｑ0，ｑ1，ｑ3，ｑ4，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ2−ｘ3＝０で表される（πと３点を共有）．
ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ3，ｑ4を囲む胞は超平面ｘ3−ｘ4＝０で表される（πと３点を共有）．
超平面ｘ4＝０はπと側面を共有しないことがわかる．すなわち，ある頂点を通る通る超平面には基本単体となるｎ＋１胞体のうちどうしても通れない１面ができてしまうのである．このことから偶数次元の場合はｎ＋１胞体と考えられるのである．
［１］ｎが奇数の場合
ｃ（ｎ）＝ｎ＋２
ｖ（ｎ）＝［（ｎ＋１）／２］^2＋［ｎ／２］＋１
［２］ｎが偶数の場合
ｃ（ｎ）＝ｎ＋１
ｖ（ｎ）＝［ｎ／２］^2＋［ｎ／２］＋１
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［補足１］permutahedron
（基本単体でなく）立方体を，超平面｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘn｜＝ｎ／２で切頂した「ｎ次元切頂八面体」は（適当に拡大すると）頂点の座標データが整数座標（０，±１，±２，±３，・・・，±ｎ−１）の点の置換２^(n-1)・ｎ！個からなる多面体になる．この多面体はpermutahedronという族の多面体である．
ところで，辺の長さが整数の多面体としては，シュテッフェン（ステファン？）の９つの頂点と１４の三角形面からなる最も単純な折り曲げ可能多面体（１９７８年）やLoeckenhoff and Hellnerの空間充填１８面体（１９７１年）がある．
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［補足２］ミンコフスキーの定理と原始的平行多面体
一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．
すなわち，２次元平行多辺形は最大６辺，３次元平行多面体の面数は最大１４面，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．
４次元の場合，胞数が最大の３０であるものが３つ
Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8
Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6
Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6
あるが，たとえば，Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は３次元の六角柱Ｐ8と切頂八面体Ｐ14を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．
これらが原始的４次元３０胞体であるが，２次元の平行多面体は２種類（原始的１），３次元の平行多面体は５種類（原始的１）ある．４次元の平行多面体は，３次元の５種類から５２種類（原始的３）へと急増する．また，５次元の場合には，１０３９９１種類と膨大で，原始的なものだけでも２２２種類見つかっている．５次元での平行多面体の状況ははるかに多様となって，そのリストアップはいまでも完成していない．
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