４次元正多胞体の元素数は４であると予想されるが，まずは「下からの評価」から始めたい．
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【１】４次元正多胞体と（拡張）デーン不変量
境界多面体 境界面ｐ 頂点に集まる面ｑ 辺に集まる胞ｒ
５胞体 正４面体 ３ ３ ３
８胞体 立方体 ４ ３ ３
１６胞体 正４面体 ３ ３ ４
２４胞体 正８面体 ３ ４ ３
１２０胞体 正１２面体 ５ ３ ３
６００胞体 正４面体 ３ ３ ５
ここで，超立方体と分解合同であるかどうかを示す不変量を
ｎ次元デーン不変量＝ｆ（ｎ−１次元デーン不変量，ｎ−２次元デーン不変量，・・・，２次元デーン不変量）
と定義して，二胞角の有理数係数についての独立性に加えて，境界多面体の二面角の独立性を調べてみると，
二胞角 二面角
５胞体 Ａ Ｃ
８胞体 Ｂ Ｄ
１６胞体 Ｂ Ｃ
２４胞体 Ｂ Ｃ
１２０胞体 Ｂ Ｅ
６００胞体 Ａ Ｃ
となって４種類の組み合わせ（ＡＣ，ＢＤ，ＢＣ，ＢＥ）ができる．このことから，４次元正多胞体の元素数は≧４であると評価される．
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【２】４次元正多胞体の巡礼（包含関係）
「上からの評価」に移ろう．頂点の関係から，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，
正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体
正５胞体≦正１２０胞体
となる．すなわち，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．
なお，１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．ともあれ，頂点による包含関係が確定したところで，４次元正多胞体の元素を構成することにしたい．
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【３】直角５胞体（right penta）
４次元直角５胞体の各頂点の座標を
（０，０，０，０）
（１，０，０，０）
（０，１，０，０）
（０，０，１，０）
（０，０，０，１）
とおき，ＲＰ（right penta）と呼ぶことにする．また，互いに直角に交わる頂点からの辺の長さ（この場合は１）をＲＰの辺の長さと呼ぶことにする．
このＲＰ４！＝２４個の体積は１辺の長さ１の正８胞体と等しくなるから，ＲＰの体積は１／２４である．辺の長さを１としたＲＰ２^4＝１６個で１辺の長さ√２の正１６胞体（体積１６／２４＝２／３）ができる．正８胞体の辺の長さを１として，ひとつおきの頂点を結べば１辺の長さ√２の正１６胞体ができる（後述）ので，これを１６個のＲＰで組立て，その外側に（ひとつおきに）計８個のＲＰを埋めて，合計２４個のＲＰで正８胞体を合成できる（体積は１）．
［４］［５］では，正８，１６，２４細胞体をＲＰの「大きさを問わず」，ともかく相似な素材ＲＰに分割することを試みる．
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【４】正８胞体と正１６胞体
正８胞体は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正１６胞体を構成するひとつの方法として，正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，４本のベクトル（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）は互いに直交し，長さは２すなわちもとの正８胞体の１辺の長さに等しい．この４頂点と中心に対する４頂点の合計８頂点±（１，１，１，１），±（１，１，−１，−１），±（１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，１）は互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことになる．この正１６胞体の１辺の長さは２√２であるから，１６個のＲＰよりなり，体積は３２／３であることがわかる．
正８胞体の残りの８頂点は±（−１，１，１，１），±（−１，１，−１，−１），±（−１，−１，１，−１），±（−１，−１，−１，１）であるが，たとえば，ベクトルの始点を（−１，１，１，１），終点を±（１，１，１，１），±（１，１，−１，−１），±（１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，１）にとると，正８胞体から正１６胞体を取り除いた部分にＲＰ（−２，０，０，０），（０，−２，０，０），（０，０，−２，０），（０，０，０，−２）を構成することができる．このとき，８個のＲＰが構成できることは，
（１６−３２／３）／（２／３）＝８
からも確かめることができる．
すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきに４個のright tetraをとると正四面体ができるが，４次元の特殊性として正８胞体では８個のright pentaをとると正１６胞体ができ，正８胞体は２４個のＲＰから構成されるというわけである．なお，この操作によって３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．
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【５】正２４胞体
正２４胞体の頂点の座標は
（±１，±１，±１，±１）・・・正８胞体の頂点
（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）・・・正１６胞体の頂点
の２４点である．３次元空間で立方体の８頂点（±１，±１，±１）と正八面体の６頂点（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）を結ぶと菱形１２面体ができるから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体の４次元版と見ることができる．４次元ではその特殊性から本当に正多面体になるわけである．
正２４胞体の胞をなす３次元の正八面体，たとえば，その６頂点を（２，０，０，０），（１，１，±１，±１），（０，２，０，０）とする．この正八面体を３次元空間で辺の長さ√２のＲＴ（right tetra：３次元のＲＰ）８個に分解し，それを中心（０，０，０，０）から射影すれば，４次元の中心から３次元胞の中心（１，１，０，０）までの距離が√２で，ちょうど辺の長さ√２の４次元のＲＰができるので，全体で８×２４＝１９２個のＲＰで埋め尽くせることになる．
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【６】正６００胞体
正６００胞体の頂点の座標は，正２４胞体の頂点（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）の置換２４点とねじれ２４胞体の頂点（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換９６点で与えられる．
（±τ，±１，±１／τ，０）は正８胞体の面の中心またはその双対として正１６胞体の辺の中点（±１，±１，０，０）をτ倍した（±τ，±τ，０，０）を１：τに黄金分割したものである．３次元の正八面体の各辺を黄金分割した１２点をとると，正２０面体の頂点になるが，この操作を正２４胞体の各胞（正八面体）に施すと１２０個の正四面体に囲まれた準正多面体ができ，正６００胞体はこの図形から作ることができるというわけである．
この操作は３次元の場合でいえばright tetraをβとγに分割する操作に相当する．したがって，正６００胞体単独でひとつの元素とみなしても同じことである．
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【７】正５胞体と正１２０胞体
正６００胞体は正２４胞体のroofをなすが，正１２０胞体は正６００胞体のroofをなすと同時に，正５胞体のroofもなす．３次元の場合でいえばδが２個あるようなもので，正５胞体と正１２０胞体をそれぞれ単独でひとつの元素とみなしても同じことである．
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【８】まとめ
ＲＰ１６個 → 正１６胞体
ＲＰ２４個 → 正８胞体
ＲＰ１９２個→ 正２４胞体
となり，４種類の元素（ＲＰ，正５胞体，正６００胞体，正１２０胞体）があればすべての４次元正多胞体を構成できることが示された．
上からの評価「４次元正多胞体の元素数は≦４である」ことが証明されたことになるが，ここで行った構成法はbest possibleと考えられ，４次元正多胞体をどのように分割し，接合しても元素数は４より減らせそうにないことから「４次元正多胞体の元素数は４である」と予想される．
これに下からの評価「４次元正多胞体の元素数は≧４である」が加味されて，４次元４次元正多胞体の元素数は４であることが確定する．これで，４次元正多胞体すべてを少数の「素子」で合成しようという，秋山仁先生が数学セミナーの「エレガントな解答をもとむ」に出題された３次元正多面体の問題の４次元版は解決である．
最後に，このmagic and mysteryを種明かししよう．ＲＰは素材としては大変有用であったが，３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きである．
ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除いくことができる．
３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるが，５次元以上の空間では５次元以上の空間では正多面体にならず，１種の準正多面体になる．これが各次元における元素定理の正体なのである．
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