この３月２０日，正多面体と平行多面体の元素定理に関するセミナーが開催された．とはいっても参加者は秋山仁先生とドルビリン先生（ステクロフ研究所）と小生の３人だけであるが，あまり上手とはいえない英語での議論なのでたいそうな時間がかかってしまった．今回のコラムでは，セミナーでの質問に回答を与えたいと思う．
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【１】３次元では立方体から直角三角錐ＲＴを４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるが，５次元以上の空間では５次元以上の空間では正多面体にはならない．それでは芯の形はどのようになるのだろうか？
［Ａ］立方体は８頂点（±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができる．たとえば，その頂点は（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）の合計４頂点である．格子点（ｘ，ｙ，ｚ）において，ｘ＋ｙ＋ｚが奇数，偶数の頂点を奇頂点，偶頂点と呼ぶことにする．偶頂点を中心として奇頂点のみをとって結んだ直角三角錐がＲＴである．３次元では立方体から直角三角錐ＲＴを４個取り除くことができる．
ひとつの頂点からは（３，２）＝３本のベクトルがでるが，奇頂点（１，１，１）を中心として切断面にある他の３頂点と結んだベクトルは（０，−２，−２），（−２，０，−２），（−２，−２，０）であり，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．頂点数４，面数４であり，芯に正四面体が残ることになる．
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正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１），（−１，１，−１，１），（−１，−１，１，１），（−１，−１，−１，−１）の合計８頂点が得られる．
これらは４頂点（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）と中心に対する対称な４頂点の合計８頂点であって，互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことがわかる（４次元空間の特殊性）．すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができることになる．
ひとつの頂点からは（４，２）＝６本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる（正四面体）．頂点数は８，胞は正四面体であり，芯に正１６胞体が残ることがおわかりいただけるであろう．
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３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では何になるのだろうか？
５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．
すでにお気づきであろうが，
（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・
すなわち，ｎが奇数の場合は
（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）
ｎが偶数の場合は
（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ）
で，いずれの場合も合計２^(n-1)頂点が得られることもおわかりいただけたであろう．
（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる（正５胞体）．頂点数は１６，４次元面の形は正５胞体となる．
ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）は
境界胞体 頂点 双対性 対応
（ｎ＋１）胞 ｎ胞体 ｎ＋１ 自己双対 正４面体・５胞体
２ｎ胞体 （２ｎ−２）胞体 ２^n ２^n胞体 立方体・８胞体
２^n胞体 ｎ胞体 ２ｎ ２ｎ胞体 正８面体・１６胞体
の３種類だけであるから，５次元以上の空間では芯（頂点数２^n-1）は正多面体にならず，１種の準正多面体になることがわかる．
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ついでに，６次元の場合を調べてみると，６次元立方体は６４頂点（±１，±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．６次元立方体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，±（１，１，１，１，１，１），±（１，１，１，１，−１，−１），±（１，１，１，−１，１，−１），±（１，１，１，−１，−１，１），±（１，１，−１，１，１，−１），±（１，１，−１，１，−１，１），±（１，１，−１，−１，１，１），±（１，−１，１，１，１，−１），±（１，−１，１，１，−１，１），±（１，−１，１，−１，１，１），±（１，−１，−１，１，１，１），±（１，１，−１，−１，−１，−１），±（１，−１，１，−１，−１，−１），±（１，−１，−１，１，−１，−１），±（１，−１，−１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，−１，−１，１）の合計３２頂点が得られる．これらの１６本の軸は直交しないこともおわかりいただけるであろうか．
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【２】permutahedron
（その１０）で紹介した「ｎ次元切頂八面体」は平行多面体の定義を満たしていないのであるが，その座標データが整数座標（０，±１，±２，±３，・・・，±ｎ−１）の点の置換２^(n-1)・ｎ！個からなるpermutahedronという族の多面体であることを教えていただいた．
ドルビリン先生より，この多面体の凸包の体積について意見を求められたが，体積は行列式の形で求めることができて，その問題については石井源久先生がすでに求めておられるとコメントしておいた．
整数座標で等差数列をなす場合，すなわち（ａ，ａ±ｄ），ａ±２ｄ），・・・，ａ±（ｎ−１）ｄ））の場合も同様であろう．
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