（その９）の計算から，

(1)ｎが偶数でｋ＝ｎ／２のとき，白銀菱形，

(2)ｎが３の倍数でｋ＝ｎ／３，２ｎ／３のとき，２ｎ個の正方形

が出現することがわかりました．

　また，ｎ＝５のとき，菱形面の対角線の長さの比ｒがτになることを期待していたのですが，そうはならないようです．しかし，菱形３０面体

ｎ　　　　　　ｋ　　　　　　ｒ

5 1 1.82802

5 2 .811394

5 3 .811392

5 4 1.82801

のどこかにτが，菱形９０面体

ｎ　　　　　　ｋ　　　　　　ｒ

10 1 3.83513

10 2 1.82802

10 3 1.13657

10 4 .811394

10 5 .707107

10 6 .811392

10 7 1.13657

10 8 1.82801

10 9 3.8351

のどこかにτ^2が隠れているはずです．

　それが解明できれば，菱形１３２面体

ｎ　　　　　　ｋ　　　　　　ｒ

12 1 4.62519

12 2 2.23607

12 3 1.41421

12 4 1

12 5 .779549

12 6 .707107

12 7 .779547

12 8 .999998

12 9 1.41421

12 10 2.23606

12 11 4.62514

のなかに潜んでいる３種類の菱形を決定できるカギが見つけられるはずです．

　なんとかして菱形１３２面体の３種類の菱形（細い菱形４８枚，中間型３６枚，太った菱形４８枚）を決定したいものですが，これら３種類の菱形は黄金・白銀菱形，黄金・白銀２乗菱形のどれに相当するのでしょうか．

　１点から何本の線が出るのか，その次数がわかればある程度解決できるとは思われますが，一般に高次元の射影理論は難しいので，渡辺泰成先生（科学芸術学際研究所ＩＳＴＡ）のご教示していただきました．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】渡辺泰成先生への質問

　ｎ次元立方体の投影図は１頂点からｎ本の辺がでますが，それらを取捨選択して菱形多面体を描く場合，どのようなルールで不要な線を消していくのか、よくわかりません．たとえば菱形９０面体や１３２面体がまったくの試行錯誤で得られたものではないと思うのですが・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】渡辺泰成先生からの回答

　ご指摘の点につきましてお答えします．ｎ次元超立方体は頂点からｎ本のベクトルが出ておますので重なりがでます．もともとはこの種の多面体タイリングは高い次元から射影して得られます．ｎ次超立方体をｒ次元に射影する場合はｒ次元と直交するｎ−ｒ次元の単位超立方体も窓を設定し，この窓に入っているベクトルのみを取り出してタイリングを行います．

　菱形９０面体の場合は１０次元立方体なので，７次元立方体の窓を作り，ここに射影されたベクトルのうち窓に入っているベクトルのみによって６種類の菱面体格子からなる菱形９０面体が得られます．これは下記の論文に簡単にまとめてあります．

　　［参］Forma, Vol. 9 (No. 3), pp. 233-238, 1994

　射影理論の最も簡単なものは，２次元正方格子を１次元に射影してフィボナッチ格子を作る例題があげられます．この場合，直交空間も１次元なので幅が１の帯に入っているベクトルのみが１次元格子を形成します．射影する方向によって帯の傾きが変わり，無理数の傾きならフィボナッチ格子のような準周期構造に，有理数なら周期構造が得られます．

　一般に高次元の射影理論は難しくて，境界条件の取り方でパターンが変わってしまい苦労しました．射影法とは別に自己相似法という方法もあります．ペンロースタイリングの場合は自己相似法でも作れて，１点から５本，４本，３本の格子点が現れます．（渡辺泰成）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝