私が探していたものは「ｎ次元切頂八面体の座標データ」であるが，石井源久先生より，私が陥った４次元図形の落とし穴についてご指摘を頂戴した．

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【１】準正多胞体によるｎ次元空間充填

　『準正多胞体による４次元空間充填には

(1)３次元の六角柱とケルビン立体を組み合わせたケルビン立体の４次元版である正５胞体系（１１１１）

(2)３次元の立方体とケルビン立体を組み合わせた正１６胞体・８胞体系（１１１０）

がある．

　どちらも空間充填図形ながら両者は異なる多胞体である．ただし，３次元の場合のみ同じ切頂八面体を回転させた形状になる．すなわち，両者は３次元の場合は一致するが，４次元以上の場合は一致しない』とのこと．

　後者は正八面体を胞とする正２４胞体の切頂型と一致するところから，まさにｎ次元切頂八面体というべきものである．後者でもってｎ次元空間を充填させるためには，ｎ次元の立方体を混在させなければならないので，ここに４次元図形がもっている３次元人用の落とし穴か見られるというわけである．

［補］３次元で説明すると正４面体の系列，正８面体・正６面体の系列，正２０面体・正１２面体の系列の３種類，４次元の場合は正５胞体の系列，正１６胞体・正８胞体の系列，正２４胞体の系列，正６００胞体・正１２０胞体の系列の４つの系列，５次元以上については正ｎ＋１胞体の系列，正２^n胞体・正２ｎ胞体の２つの系列がある．ここで問題としているのは正ｎ＋１胞体の系列，正２^n胞体・正２ｎ胞体の２つである．

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【２】雑感

　３次元の六角柱とケルビン立体を組み合わせたケルビン立体の４次元版である正ｎ＋１胞体（１１１１）系ではなく，３次元の立方体とケルビン立体を組み合わせた正２^n胞体（１１１０）系を用いることによって，ｎ次元空間充填図形の元素の形を正しく求めやすくなったといえる．六角柱が立方体に変わったこともかえって好都合である．石井先生から頂いた（１１１０）系のデータを見ると，４次元切頂八面体の頂点はすべて超平面ｘ1＋・・・＋ｘ4＝２上に載っていることも確認された．

　問題は（１１１０）系が平行多面体の定義を満たしていないということである．すなわち（その６）（その７）で求めた形はｎ次元空間充填図形の元素とはなるが，平行多面体の元素とはならないのである．

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