３次元平行多面体の場合，立方体の基本単体を２等分することによって切頂八面体の元素ができ，それを使うと他の平行多面体も作ることができた．

　ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となる（ミンコフスキーの定理）．したがって，ｎ次元の立方体と切頂八面体に共通する元素を作ることができれば，それがｎ次元平行多面体の元素となりうる可能性は大である．

　さて，（その３）の訂正になるが，遣り残した問題を片づけておきたい．

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　４次元多胞体というのは３次元の多面体が２つでひとつの側面を共有しながらつながったものである．

　　ｑ0（０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）

　　ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）

　　ｑ6（１，１／２，１／２，０）

のｑ2，ｑ3，ｑ4，ｑ5，ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．この超平面をπ0で表すことにする．

　超平面ｘ4＝０上にはｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5の４点が載る．すなわち，ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ4＝０で表される（πと２点を共有）．この超平面をπ1で表すことにする．超平面ｘ1＝１上にはｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6の４点が載る＝ｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6を囲む胞は超平面ｘ1＝１で表される（πと３点を共有）．この超平面をπ2で表すことにする．

　さらに

ｑ0，ｑ2，ｑ3，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ1−ｘ2＝０で表される（πと３点を共有）．この超平面をπ3で表すことにする．

ｑ0，ｑ1，ｑ3，ｑ4，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ2−ｘ3＝０で表される（πと３点を共有）．この超平面をπ4で表すことにする．

ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ3，ｑ4を囲む胞は超平面ｘ3−ｘ4＝０で表される（πと３点を共有）．この超平面をπ5で表すことにする．

　超平面ｘ4＝０はπ0と側面を共有しないことがわかる．すなわち，ある頂点を通る通る超平面には基本単体となるｎ＋１胞体のうちどうしても通れない１面ができてしまうのである．ちなみに，３点以上を共有するとき○，そうでないとき×を記入すると，

　 　π0 　　　　π1 　　　　π2 　　　　π3 　　　　π4

π1 ×　　　　　−　　　　　−　　　　　−　　　　　−

π2 ○　　　　　×　　　　　−　　　　　−　　　　　−

π3　○　　　　　○　　　　　×　　　　　−　　　　　−

π4　○　　　　　○　　　　　×　　　　　○　　　　　−

π5　○　　　　　○　　　　　○　　　　　○　　　　　○

　これは四面体２個（π2，π3），五面体３個（π0，π4，π5）からなる５胞体であると思われる．五面体はテトラドロンの２分割体であるペンタドロンであるに違いない．

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