３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩で正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類ある．

　正８胞体の基本単体はすでに計量したが，正１６胞体，正２４胞体の基本単体も当然space fillerである．以下の記述から正１６胞体，正２４胞体の基本単体がＲＰ（right penta）と関係していることが明らかになる．結論を先にいうとＲＰ１６個で正１６胞体，ＲＰ１９２個で正２４胞体を組み立てることができるのである．

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【１】正１６胞体の基本単体

　体心を（０，０，０）とする正八面体の３頂点を

　　（２，０，０），（０，２，０），（０，０，２）

とおくと，辺心は（１，１，０），面心は（２／３，２／３，２／３）となる．したがって，基本単体の頂点は

　　（２，０，０），（１，１，０），（２／３，２／３，２／３），（０，０，０）

となる．

　体心を（０，０，０，０）とする正１６胞体の４頂点を

　　（２，０，０，０），（０，２，０，０），（０，０，２，０），（０，０，０，２）

とおくと，辺心は（１，１，０，０），面心は（２／３，２／３，２／３，０），胞心は（１／２，１／２，１／２，１／２）となる．したがって，基本単体の頂点は

　　（２，０，０，０），（２／２，２／２，０，０）＝（１，１，０），（２／３，２／３，２／３，０），（２／４，２／４，２／４，２／４）＝（１／２，１／２，１／２，１／２）

で与えられることがわかる．なお，正１６胞体の基本単体数は２４×１６＝３８４となる．

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【２】正２４胞体の基本単体

　体心を（０，０，０）とする菱形１２面体の４頂点を

　　（０，０，２），（±１，１，１），（０，２，０）

にとることができる．同様に，体心を（０，０，０，０）とする正２４胞体の８頂点を

　　（０，０，０，２），（±１，±１，１，１），（０，０，２，０）

にとることができる．菱形１２面体の場合と違って，この８頂点は体心から等距離にある．辺心を（１／２，１／２，１／２，３／２），面心を（０，２／３，２／３，４／３），胞心を（０，０，１，１）にとることができる．

　胞心と各頂点を結ぶベクトルは

　　（０，０，−１，１）（±１，±１，０，０），（０，０，１，−１）

であって，これらは互いに直交し，長さはすべて等しく√２となる．また，体心と胞心を結ぶベクトル（０，０，１，１）もこれらと互いに直交し長さも√２である．なお，正２４胞体の基本単体数は４８×２４＝１１５２となる．

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［補］正５胞体の基本単体数は２４×５＝１２０

　　　正８胞体の基本単体数は４８×８＝３８６

　　　正１２０胞体の基本単体数は１２０×１２０＝１４４００

　　　正６００胞体の基本単体数は２４×６００＝１４４００

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