（その２）（その３）では「４次元平行多面体の元素の形」を求めたが，今回のコラムでは「５次元平行多面体の元素の形」を計量してみることにする．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ｎ次元の立方体の基本単体の分割
立方体［０，１］^nに対して，
ｏn（０，０，０，・・・０，０）
ｏ0（１，１，１，・・・１，１）
を結ぶ対角線の中点
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
を通る超平面
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・＋ｘn＝ｎ／２
と各辺の交点を求めてみることにします．
計算の都合上，ｐk＝ｏn-kとおきます．
ｐ0（０，０，・・・，０）
ｐ1（１，０，・・・，０）
ｐ2（１，１，０，・・・０，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn-1（１，１，１，・・・１，０）
ｐn（１，１，１，・・・１，１）
ですから，直線ｐ0ｐnは
ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn
で表されます．したがって，ｐ0ｐnとの交点は
（１／２，１／２，１／２，・・・，１／２，１／２）
直線ｐ1ｐnは，
ｘ1＝１，ｘ2＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ1ｐnとの交点は（１，（ｎ−２）／２（ｎ−１），・・・，（ｎ−２）／２（ｎ−１））．ｎ＝５の場合は（１，３／８，３／８，３／８，３／８）となります．
直線ｐ2ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，（ｎ−４）／２（ｎ−２），・・・，（ｎ−４）／２（ｎ−２））
ｎ＝３の場合は（ｎ−４）／２（ｎ−２）＜０となって交わらないことがわかります．ｎ＝５の場合は（１，１，１／６，１／６，１／６）となります．
直線ｐ3ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−６）／２（ｎ−３），・・・，（ｎ−６）／２（ｎ−３））
ｎ＝５の場合は（ｎ−６）／２（ｎ−３）＜０となって交わりません．
直線ｐ4ｐnは，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn
したがって，ｐ2ｐnとの交点は（１，１，１，（ｎ−８）／２（ｎ−４），・・・，（ｎ−８）／２（ｎ−４））
ｎ＝５の場合は（ｎ−８）／２（ｎ−４）＜０となって交わりません．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ2＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｎ／２となって，ｎ＞２のとき交わらないことがわかります．
直線ｐ0ｐ2は
ｘ1＝ｘ2，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｎ／４となって，ｎ≦４のときのみ交わります．
直線ｐ0ｐ3は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／６となって，ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（５／６，５／６，５／６，０，０）となります．
直線ｐ0ｐ4は
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｎ／８となって，ｎ≦８のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（５／８，５／８，５／８，５／８，０）となります．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1＝１，ｘ3＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ2＝（ｎ−２）／２．したがって，交点は
（１，（ｎ−２）／２，０，・・・，０）
となります．２≦ｎ≦４のときのみ交わります．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝（ｎ−２）／４．交点は
（１，（ｎ−２）／４，（ｎ−２）／４，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦６のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（１，３／４，３／４，０，０）となります．
直線ｐ1ｐ4は
ｘ1＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝（ｎ−２）／６．交点は
（１，（ｎ−２）／６，（ｎ−２）／６，（ｎ−２）／６，０，・・・，０）
となって，２≦ｎ≦８のときのみ交わります．ｎ＝５のとき交点は（１，１／２，１／２，１／２，０）となります．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｐ2を通る直線ｐ2ｐ3では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ4＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝（ｎ−４）／２．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／２，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦６のときのみ交わります，ｎ＝５のとき交点は（１，１，１／２，０，０）となります．
ｐ2を通る直線ｐ2ｐ4では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ3＝ｘ4＝（ｎ−４）／４．したがって，交点は
（１，１，（ｎ−４）／４，（ｎ−４）／４，０，・・・，０）
となります．４≦ｎ≦８のときのみ交わります，ｎ＝５のとき交点は（１，１，１／４，１／４，０）となります．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｐ3を通る直線ｐ3ｐ4では
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１，ｘ5＝・・・＝ｘn＝０
ですからｘ4＝（ｎ−６）／２．したがって，交点は
（１，１，１，（ｎ−６）／２，０，・・・，０）
となります．６≦ｎ≦８のときのみ交わります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】５次元平行多面体の元素の形
基本単体の頂点
ｐ0（０，０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０，０）
ｐ3（１，１，１，０，０）
ｐ4（１，１，１，１，０）
ｐ5（１，１，１，１，１）
と前節で求めた９交点
（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）
（１，３／８，３／８，３／８，３／８）
（１，１，１／６，１／６，１／６）
（５／６，５／６，５／６，０，０）
（５／８，５／８，５／８，５／８，０）
（１，３／４，３／４，０，０）
（１，１／２，１／２，１／２，０）
（１，１，１／４，１／４，０）
（１，１，１／２，０，０）
から，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２の部分をとると，１２頂点
ｑ0（０，０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，３／８，３／８，３／８，３／８）
ｑ5（１，１，１／６，１／６，１／６）
ｑ6（５／６，５／６，５／６，０，０）
ｑ7（５／８，５／８，５／８，５／８，０）
ｑ8（１，３／４，３／４，０，０）
ｑ9（１，１／２，１／２，１／２，０）
ｑ10（１，１，１／４，１／４，０）
ｑ11（１，１，１／２，０，０）
が元素の頂点となる．ｑ3〜ｑ11は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２上にある．これが７６８０個で５次元立方体を組み立てることができる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝