（その２）の最後に「ｎ次元平行多面体の元素の形は？」という予想を示したが，これは昨年書いたコラム「平行多面体に関する新しい定理」ですでに提示していたものである．今回のコラムでは「４次元平行多面体の元素の形は？」を検証してみることにする．
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【１】計量（辺の長さ）
４次元平行立方体の基本単体の頂点は
ｐ0（０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２との交点は
（１，１，０，０）
（１／２，１／２，１／２，１／２）
（１，１／３，１／３，１／３）
（２／３，２／３，２／３，０）
（１，１／２，１／２，０）
である．
したがって，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点
ｑ0（０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．辺の長さは
ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝１，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（４／３），ｑ0ｑ6＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝１，ｑ1ｑ4＝√（１／３），ｑ1ｑ5＝１，ｑ1ｑ6＝√（１／２）
ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝√（２／３），ｑ2ｑ5＝√（２／３），ｑ2ｑ6＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（１／３），ｑ3ｑ5＝√（１／３），ｑ3ｑ6＝√（１／２）
ｑ4ｑ5＝２／３，ｑ4ｑ6＝√（１／６），ｑ5ｑ6＝√（１／６）
それに対して，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≧０の部分をとると，７頂点
ｑ0（１，１，１，１）
ｑ1（１，１，１，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ5は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．辺の長さは
ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝１，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（４／３），ｑ0ｑ6＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝１，ｑ1ｑ4＝１，ｑ1ｑ5＝√（１／３），ｑ1ｑ6＝√（１／２）
ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝√（２／３），ｑ2ｑ5＝√（２／３），ｑ2ｑ6＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（１／３），ｑ3ｑ5＝√（１／３），ｑ3ｑ6＝√（１／２）
ｑ4ｑ5＝２／３，ｑ4ｑ6＝√（１／６），ｑ5ｑ6＝√（１／６）
となって辺の長さは変わらず，基本単体の２分割体になっていることがわかる．
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【２】計量（胞数）
ｑ0（０，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）
ｑ6（１，１／２，１／２，０）
のｑ2，ｑ3，ｑ4，ｑ5，ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．
超平面ｘ4＝０上にはｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5の４点が載る．すなわち，ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ4＝０で表される．超平面ｘ1＝１上にはｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6の４点が載る＝ｑ1，ｑ2，ｑ4，ｑ6を囲む胞は超平面ｘ1＝１で表される．さらに
ｑ0，ｑ2，ｑ3，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ1−ｘ2＝０で表される．
ｑ0，ｑ1，ｑ3，ｑ4，ｑ5を囲む胞は超平面ｘ2−ｘ3＝０で表される．
ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ3，ｑ4を囲む胞は超平面ｘ3−ｘ4＝０で表される．
これは四面体３個，四面体錘３個からなるまさしく６胞体であると思われる．早合点（ないし錯覚）がなければよいのであるが，４次元（ないし高次元）の図形は直感がきかず，２次元・３次元からの類推で考えてもなにかと誤りやすいのである．
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【３】雑感
４次元正多胞体の場合，ＲＰ１９２個で正２４胞体，ＲＰ２４個（３８４個）で正８胞体を組み立てることができた．
４次元平行多面体の元素は（実際にそのような充填形は存在すると思われるのだが），これが７６８個で４次元立方体（正８細胞体）を組み立てることができる．もちろん，３８４個で４次元切頂八面体（３０胞体），１５３６個で４次元菱形１２面体（正２４胞体）を組み立てることができるものと思われる．
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【補】超平面
ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして
ａ＝（ａ1，・・・，ａn）
ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）
また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，
ａｘ’＝ｃ
で表すことができます．原点を通るときｃ＝０で，その場合，原点を中心とするｎ次元超立方体と超平面ａｘ’＝０は必ず交わります．
ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．
また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，
ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１
が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．
ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．
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