■リュカ・レーマーの判定法と2重指数型公式(その2)

【1】2重指数型公式

 ここでは,

  gn+1=(gn)^2−2,g0=4

を考えるが,この場合,

  ω1=2+√3,ω2=2−√3

となって,2重指数型公式

  gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)

が得られる.

 帰納法により

[1]n=0,g0=ω1+ω2=4

[2]gn=ω1^(2^n)+ω2^(2^n)が正しいとすると,

 (gn)^2−2=(ω1^(2^n)+ω2^(2^n))^2−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)+2(ω1ω1)^(2^n)−2

=ω1^(2^n+1)+ω2^(2^n+1)=gn+1

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【2】指数型公式

 比較のため,指数型公式もみてみたい.

  gn=(a+1)gn-1+gn-2

a=0,g0=1,g1=a+1→fn

a=0,g0=2,g1=a+1→Ln

a=1,g0=1,g1=a+1→pn

a=1,g0=2,g1=a+1→Qn

の一般項は,いずれも指数型公式

  gn=aα^n+bβ^n

で与えられる.

 もう少し簡単にして,,たとえば,

  gn=2gn-1+1

の場合でも,指数型公式

  gn=2^n−1

が得られる.

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