■サマーヴィルの等面四面体(その140)

 R^2は最短辺√nか,最長辺Lに比例すると思われるが

  P0Pj^2={j(n+1−j)},j=1〜n

の最長辺を求めてみたところ.

[1]nが奇数のとき,

  j=(n+1)/2→L^2=j(n+1−j)=(n+1)^2/4

[2]nが偶数のとき,

  j=n/2

  L^2=j(n+1−j)=n(n+2)/4

 R^2・・・O(n^2)あるいはO(n)と思われるが,実際

  n=2,R^2=2/3=4/9

  n=3,R^2=5/4=20/16

  n=4,R^2=2=50/25

  n=5,R^2=105/36

  n=6,R^2=4=196/49

  n=7,R^2=21/4=336/64

R^2−(nr)^2=d^2

nr=nH/(n+1)=n/{2(n+1)}^1/2

(nr)^2=n^2/2(n+1)・・・O(n)

 外接円と内接円をもつ双心n角形に対するオイラー・フース定理のような形となった.しかし,等面単体を平面に投影しても外接円,内接円にはならない.

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d^2は

  n=2,0/9

  n=3,2/16

  n=4,10/25

  n=5,30/36

  n=6,70/49

で,もし

  n(n−1)(n−2)/12(n+1)・・・O(n^2)

とすると,O(n^2)である.

  n=7,140/64  (予測式と一致)

(nr)^2=6n^2/12(n+1)

d^2=n(n−1)(n−2)/12(n+1)

R^2=(nr)^2+d^2=n{6n+(n−1)(n−2)}/12(n+1)

=n(n+1)(n+2)/12(n+1)

=n(n+2)/12

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