もっと強い条件で証明できそうだ．

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（Ｑ）（３^77−１）／２は奇数であるか？

（Ａ）３^77＝？　　（ｍｏｄ４）を調べてみる．

９＝１　　（ｍｏｄ４）

３^2k＝１　　（ｍｏｄ４）

３^2k+1＝３　　（ｍｏｄ４）

（３^2k+1−１）／２＝３^2k＋３^2k-1＋・・・＋３^0

指数は偶数がｋ＋１個，奇数がｋ個

（３^2k+1−１）／２＝ｋ＋１＋３ｋ＝４ｋ＋１＝１　　（ｍｏｄ４）

　具体的には

（３^77−１）／２＝３^76＋３^75＋・・・＋３^0

指数は偶数が７６／２＋１＝３９個，奇数が３８個

（３^77−１）／２＝３９＋３８・３＝−１−６＝−７＝１　　（ｍｏｄ４）

（３^77−１）／２は４ｎ＋１型奇数である．

したがって，その因数は４ｎ＋１型である．

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（Ｑ）（３^77−１）／２は合成数であるか？

（Ａ）（３^7−１）／２＝３^6＋３^5＋・・・＋３^0

指数は偶数が４個，奇数が３個

（３^7−１）／２＝４＋３・３＝１３＝１　　（ｍｏｄ４）

　（３^11−１）／２＝３^10＋３^9＋・・・＋３^0

指数は偶数が６個，奇数が５個

（３^11−１）／２＝６＋５・３＝２１＝１　　（ｍｏｄ４）

　これらは因数である必要条件を満たすが，実際に

３^76＋３^75＋・・・＋３^0＝（３^6＋３^5＋・・・＋３^0）（３^70＋３^68＋・・・＋３^0）

３^76＋３^75＋・・・＋３^0＝（３^10＋３^9＋・・・＋３^0）（３^66＋３^64＋・・・＋３^0）となって，割り切ることができる．

→（３^77−１）／２は合成数である．

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