ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）の形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

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【１】ゴールドバッハの公式

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　１＝１／３＋１／７＋１／８＋１／１５＋１／２６＋１／３１＋１／３５＝・・・

（証）ゴールドバッハの和は，左辺を等比級数の和に直して

　　 Σｘ^-y＝Σ１／ｘ（ｘ−１）＝Σ｛１／（ｘ−１）−１／ｘ｝

に等しい．右辺＝１

　なお，近年には

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

が成り立つことも証明されたという．

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【２】フェルマー・カタラン予想

　完全ベキ乗数ｘ^pとｙ^qの差が１になるのは

　　３^2−２^3＝１

しかないというカタラン予想は証明されたが，

　　ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^r

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＜１

の整数解は有限個しかないというフェルマー・カタラン予想は未解決である．

　　ｘ，ｙ，ｚのどの２つも互いに素，１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＜１ならば，ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^rを満たすものは有限個しかない．

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