１から８までのすべての数字を含む排他的数列

　　｛ａn｝＝｛１，４，５，８｝

　　｛ｂn｝＝｛２，３，６，７｝

では

　　２^0＋３^0＋５^0＋８^0＝１^0＋４^0＋６^0＋７^0＝４

　　２^1＋３^1＋５^1＋８^1＝１^1＋４^1＋６^1＋７^1＝１８

　　２^2＋３^2＋５^2＋８^2＝１^2＋４^2＋６^2＋７^2＝１０２

２乗和まで等しい数列となっている．

　１から１６までのすべての数字を含む排他的数列

　　｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

では

　　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

　　１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８

　　１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８

３乗和まで等しい数列となっている．

　これらの具体的なアルゴリズムは，スー・モース数列と関係している．

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【１】スー・モース数列

　スー・モース数列では，ｎを２進展開したとき，現れる１の個数が奇数の場合ｔn＝１，現れる１の個数が偶数の場合ｔn＝０と定める．たとえば，ｎ＝２３では

　　２３＝（１０１１１）2→ｔ23＝０

　したがって，スー・モース数列｛ｔn｝は

　　０，１，１，０，１，０，０，１，

　　１，０，０，１，０，１，１，０，

　　１，０，０，１，０，１，１，０，

　　０，１，１，０，１，０，０，１，・・・

　ここには明確な回文構造が見られます．すなわち，先頭から２^n項があるとき，ビット単位に１と０を入れ替え，数列の後ろに連結します．０／１が連続して３つ現れることはありません．

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［１］スー・モース数列は

　　ｔ2n＝ｔn

>　　ｔ2n+1＝１−ｔn

によって再帰的に定義することもできます．

［２］置換則：　０→０１，１→１０

　０から始めると

　　→０１

　　→０１１０

　　→０１１０１００１

　　→０１１０１００１１００１０１１０

　　→０１１０１００１１００１０１１０１００１０１１００１１０１００１

　このような置換則はフラクタル幾何学でしばしば用いられますから，ご存知の方も多いと思います．

［３］

>　　Π（１−ｘ^2^k）＝Σ（−１）^tnｘ^n

>を満たす一意な数列としても定義することができます．

　冒頭の例では

　　Σ（−１）^tnｘ^n＝０

となるように，整数を２つの集合に分け，それぞれのベキ乗の和が等しくなる等式を探していることになります．

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