■正三角形と整数距離(その3)

【1】六斜術

 「六斜術」とは平面三角形ABCの6本の線分間の等式を意味する「和算用語」です.平面三角形ABCにおいて,BC=a,CA=b,AB=cとおき,平面上の点Pに対してPA=d,PB=e,PC=fとするとき

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2−a^2−d^2)

 +b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2−b^2−e^2)

 +c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2−c^2−f^2)

=a^2b^2c^2+a^2e^2f^2+d^2b^2f^2+d^2e^2c^2

が成立します.

 一見複雑ですが,左辺は相対する線分の2乗の積に,他の線分の2乗の和から自分自身の2乗を引いた量をかけた和

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2−a^2−d^2)

 +b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2−b^2−e^2)

 +c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2−c^2−f^2)

であり,右辺は4個の三角形の周辺3本の2乗の積の和

  a^2b^2c^2+a^2e^2f^2+d^2b^2f^2+d^2e^2c^2

です.

(証)∠BPC=α,∠CPA=∠β,∠APB=γとおく.このとき

  cosγ=cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

両辺を平方すると

  cos^2α+cos^2β+cos^2γ=2cosαcosβcosγ+1

 第2余弦定理より

  cosα=(e^2+f^2−a^2)/2ef

  cosβ=(f^2+d^2−b^2)/2fd

  cosγ=(d^2+e^2−c^2)/2de

を代入して整理すると当該の形になる.

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  a=b=c→d

  d→a,e→b,f→cと置き変えると,

  d^2a^2(d^2+d^2+b^2+c^2−d^2−a^2)

 +d^2b^2(d^2+d^2+c^2+a^2−d^2−b^2)

 +d^2c^2(d^2+d^2+a^2+b^2−d^2−c^2)

=d^2d^2d^2+d^2b^2c^2+a^2d^2c^2+a^2b^2d^2

  a^2(d^2+b^2+c^2−a^2)

 +b^2(d^2+c^2+a^2−b^2)

 +c^2(d^2+a^2+b^2−c^2)

=d^4+b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2

  a^2(d^2+b^2+c^2)

 +b^2(d^2+c^2+a^2)

 +c^2(d^2+a^2+b^2)

 −b^2c^2−a^2c^2−a^2b^2

=a^4+b^4+c^4+d^4

  d^2(a^2+b^2+c^2)+b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2

=a^4+b^4+c^4+d^4

となる.

 一方,

(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

=(a^4+b^4+c^4+d^4)+2(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)+2d^2(a^2+b^2+c^2)

代入すると

  3(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

が得られる.

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