■ある無限級数(その79)

[Q]Σ1/2^n=1/2+1/4+1/8+・・・=1

[Q]Σn/2^n=1/2+2/4+3/8+・・・=2

[Q]Σn^2/2^n=1/2+4/4+9/8+・・・=6

[Q]Σn^3/2^n=1/2+8/4+27/8+・・・=26

[Q]Σ1/3^n=1/3+1/9+1/27+・・・=1/2

 それでは

[Q]Σn/3^n=1/3+2/9+3/27+・・・=?

[Q]Σn^2/3^n=1/3+4/9+9/27+・・・=?

[Q]Σn^3/3^n=1/3+8/9+27/27+・・・=?

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  S=Σn/3^n=1/3+2/9+3/27+・・・+n/3^n

  1/3・S=      1/9+2/27+3/81+・・・+n/3^n+1

辺々差し引くと

  2/3・S=(1/3+1/9+1/27+1/81+・・・+1/3^n)−n/3^n+1

n→∞のとき

(1/3+1/9+1/27+1/81+・・・+1/3^n)→1/2

n/3^n+1→0

したがって,S→3/4

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  T=Σn^2/3^n=1/3+4/9+9/27+・・・+n^2/3^n

  1/3・T=       1/9+4/27+9/81+・・・+n^2/3^n+1

辺々差し引くと

  2/3・T=(1/3+3/9+5/27+7/81+・・・+(2n−1)/3^n)−n^2/3^n+1

 ここで,2n−1=n^2−(n−1)^2である.

n→∞のとき

(1/3+3/9+5/27+7/81+・・・+(2n−1)/3^n)

=2Σn/3^n−Σ1/3^n→2・3/4−1/2=1

n^2/3^n+1→0

したがって,T→3/2

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  U=Σn^3/3^n=1/3+8/9+27/27+・・・+n^3/3^n

  1/3・U=       1/9+8/27+27/81+・・・+n^3/3^n+1

辺々差し引くと

  2/3・U=(1/3+7/9+19/27+54/81+・・・+(3n^2−3n+1)/3^n)−n^3/3^n+1

 ここで,3n^2−3n+1=n^3−(n−1)^3である.

n→∞のとき

(1/3+7/9+19/27+54/81+・・・+(3n^2−3n+1)/3^n)

=3Σn^2/3^n−3Σn/3^n+Σ1/3^n→3・3/2−3・3/4+1/2=7/4

n^3/3^n+1→0

したがって,U→21/8

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