■オイラー積(その14)

 関数等式

  ζ(s)=π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)/Γ(s/2)ζ(1-s)

は,

ξ(s)=1/2s(s-1)π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

あるいは

ξ(s)=π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)

で定義すると

ξ(s)=ξ(1-s)

のように完全に左右対称な美しい形に書くことができる.

 これを用いて

  −ζ’(−s)

を求めることを考えてみたい.

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  ζ(1-s)=π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)/Γ(s/2)ζ(s)

 ここで,Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)=π/cosπxより

  ζ(1-s)=2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)cosπs/2

 これを微分すると

  -ζ’(1-s)=・・・

sにs+1を代入すると

  -ζ’(-s)=・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  ζ(1-s)=2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)cosπs/2

となったが,これを微分しても-ζ’(1-s)とζ(s)の関係,たとえば,

  −ζ’(−2)=ζ(3)/4π^2

  −ζ’(−4)=3ζ(5)/4π^4

は求められないことになる.どうすればよいのだろうか?

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