オイラーは，関数等式：

　　ζ(1-s)＝ζ(s)２（２π）^-sΓ(πs)ｃｏｓ(πs/2)

の発見に向けて，発散級数の和

　　ζ（０）＝１^0＋２^0＋３^0＋４^0＋・・・＝−１／２

　　ζ（−１）＝１^1＋２^1＋３^1＋４^1＋・・・＝−１／１２

　　ζ（−２）＝１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋・・・＝０

　　ζ（−３）＝１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・＝１／１２０

　　ζ（−４）＝１^4＋２^4＋３^4＋４^4＋・・・＝０

などを求めて，

　　ζ（０）＝−１／２　←→　ζ（１）＝∞

　　ζ（−１）＝−１／１２　←→　ζ（２）＝π^2／６

　　ζ（−２）＝０　←→　ζ（３）

　　ζ（−３）＝１／１２０　←→　ζ（４）＝π^4／９０

　　ζ（−４）＝０　←→　ζ（５）

などの対応を示している．

　ただし，値の対応としては

　　ζ（−２）＝０　←→　ζ（３）

　　ζ（−４）＝０　←→　ζ（５）

ではなく，

　　ζ’（−２）＝−ζ（３）／４π^2　←→　ζ（３）

　　ζ’（−４）＝−３ζ（５）／４π^4　←→　ζ（５）

となる．次回からは関数等式に関連したシリーズを開始したい．

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