■サマーヴィルの等面四面体(その21)

 n=3のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=√3

  P0P2=P1P3=2

  P0P3=√3

これは等面多面体である.等面四面体は正四面体の4本の辺の長さと高さを変えずに変形したものである.

 一般に,空間充填等面単体は,n次元正単体の(n+1,2)本の辺のうち,(n+1,1)の辺の長さと高さを変えずに変形したものである(この言明はn=2の場合も成り立つ).長さが保たれる辺は

  P0P1=P1P2=・・・=Pn-1Pn=PnP0

のn+1本である.

 正単体を円内に投影したときに正n+1角形になるような投影方向があればでは,外形は不変である.

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 n=3のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=√3

  P0P2=P1P3=2

  P0P3=√3

  P1(0,0,0)

  P2(1,√2,0)

  P3(2,0,0)

はこれを満たす.

  P0(x,y,z)

とすると,

  x^2+y^2+z^2=3

  (x−1)^2+(y−√2)^2+z^2=4

  (x−2)^2+y^2+z^2=3

  4x=4→x=1

  y^2+z^2=2

  (y−√2)^2+z^2=4

  (y−√2)^2+2−y^2=4

  −2√2y+2+2=4

  y=0,z=√2→  P0(1,0,√2)が求められる.

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