等面四面体（２，√３，√３）には，平面に投影したとき正方形にみえる方向がある．その方向は辺の延長方向ではなく，長さ２の辺の中点を結ぶ方向である．

　平面に投影したとき

［１］△2は正三角形にみえる

［２］△3は正方形にみえる方向がある

［３］△4は正五角形にみえる方向はあるだろうか？

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　等面単体でなく，正単体であれば対角線の長さは等しいので，正ｎ＋１角形にみえる方向がある．

　たとえば，ｎ−１次元正単体を底面とするｎ次元正単体で，新しく加わった軸上の正側に頂点をもち，中心が原点にくるようにすると，３次元正単体の頂点座標は

　　Ａ（−１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　Ｂ（＋１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　Ｃ（　　　０，＋√３／３，−√６／１２）

　　Ｄ（　　　０，　　　　０，＋√６／４）

とおくことができる．

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　　Ａ（−１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　Ｂ（＋１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　Ｃ（　　　０，＋√３／３，−√６／１２）

　　Ｄ（　　　０，　　　　０，＋√６／４）

の投影方向は，ＡＢとＣＤの中点

　　（０，−√３／６，−√６／１２）

　　（０，＋√３／６，＋√６／１２）

を結んだ方向

　　（０，＋√３／６，＋√６／１２）

である．

　それに直交する原点を通る平面は

　　√３／６ｙ＋√６／１２ｚ＝０

　　ｙ＋１／√２ｚ＝０

であるから

　　Ａ’（−１／２，−√３／６＋ｓ√３／６，−√６／１２＋ｓ√６／１２）

　　Ｂ’（＋１／２，−√３／６＋ｓ√３／６，−√６／１２＋ｓ√６／１２）

　　Ｃ’（　　　０，＋√３／３＋ｓ√３／６，−√６／１２＋ｓ√６／１２）

　　Ｄ’（　　　０，　　　　　＋ｓ√３／６，＋√６／４　＋ｓ√６／１２）

Ａ’（Ｂ’）

　　−√３／６＋ｓ√３／６−√３／１２＋ｓ√３／１２＝０

　　ｓ√３／４−√３／４＝０→ｓ＝１

Ｃ’

　　＋√３／３＋ｓ√３／６−√３／１２＋ｓ√３／１２＝０

　　ｓ√３／４＋√３／４＝０→ｓ＝−１

Ｃ’

　　＋ｓ√３／６＋√３／４＋ｓ√３／１２＝０

　　ｓ√３／４＋√３／４＝０→ｓ＝−１

　　Ａ’（−１／２，０，０）

　　Ｂ’（＋１／２，０，０）

　　Ｃ’（　　　０，＋√３／６，−√６／６）

　　Ｄ’（　　　０，−√３／６，＋√６／６）

　Ａ’Ｂ’^2＝１，Ａ’Ｃ’^2＝１／２，Ａ’Ｄ’^2＝１／２

　Ｂ’Ｃ’^2＝１／２，Ａ’Ｄ’^2＝１／２

　Ｃ’Ｄ’^2＝１→正方形

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