［１］複素数の場合

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ，ｙ＝ｙ0＋ｙ1ｉ

　　ｘｙ＝（ｘ0ｙ0−ｘ1ｙ）＋（ｘ0ｙ1＋ｘ1ｙ0）ｉ

　　｜ｘｙ｜^2＝（ｘ0ｙ0−ｘ1ｙ）^2＋（ｘ0ｙ1＋ｘ1ｙ0）^2

＝（ｘ0^2＋ｘ1^2）（ｙ0^2＋ｙ1^2）＝｜ｘ｜^2｜ｙ｜^2

［２］三元数の場合

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ，ｙ＝ｙ0＋ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ

　　ｘｙ＝（ｘ0ｙ0−ｘ1ｙ1−ｘ2ｙ2）

　　　　＋（ｘ0ｙ1＋ｘ1ｙ0）ｉ

　　　　＋（ｘ0ｙ2−ｘ2ｙ0）ｊ

　　　　＋（ｘ1ｙ2）ｉｊ＋（ｘ2ｙ1）ｊｉ

　　｜ｘｙ｜^2＝（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

　ｘｉｊ＝−ｊｉ＝ｋの必要性が示唆される．

［３］四元数の場合

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｙ＝ｙ0＋ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ＋ｙ3ｋ

　　ｘｙ＝（ｘ0ｙ0−ｘ1ｙ1−ｘ2ｙ2−ｘ3ｙ3）

　　　　＋（ｘ0ｙ1＋ｘ1ｙ0＋ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）ｉ

　　　　＋（ｘ0ｙ2−ｘ1ｙ3＋ｘ2ｙ0＋ｘ3ｙ1）ｊ

　　　　＋（ｘ0ｙ3＋ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1＋ｘ3ｙ0）ｋ

　　｜ｘｙ｜^2（ｘ0ｙ0−ｘ1ｙ1−ｘ2ｙ2−ｘ3ｙ3）^2

　　　　＋（ｘ0ｙ1＋ｘ1ｙ0＋ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2

　　　　＋（ｘ0ｙ2−ｘ1ｙ3＋ｘ2ｙ0＋ｘ3ｙ1）^2

　　　　＋（ｘ0ｙ3＋ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1＋ｘ3ｙ0）^2

＝｜ｘ｜^2｜ｙ｜^2

＝（ｘ0^2＋ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ0^2＋ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ0ｙ0＋ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ0ｙ1−ｘ1ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ2−ｘ2ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ3−ｘ3ｙ0）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

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