■基本単体の二面角(その284)

【1】Dnの大域幾何学

 n半立方体Hnのファセットは

  2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体

からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1

 2次元:(2,1)

 3次元:(4,6,4)   (正四面体)

 4次元:(8,24,32,16)   (正16胞体)

 5次元:(16,80,160,120,26)

 6次元:(32,240,640,640,252,44)

 7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)

である.

 Hnでは,

  0次元面数:合計・1/2n

  1次元面数:合計・1/n

  2次元面数:合計・1/(n−2)

  ・・・・・・・・・・・・・・・・

  n−3次元面数:合計・1/3

  n−2次元面数:合計・1/2

  n−1次元面数:合計・1

 したがって,漸化式

  合計=2^n-1・(n,k+1)+2n・f(n−1,k)

  f(n,0)=合計/2n

  f(n,1)=合計/n

  f(n,k)=合計/(n−k),k=2〜n−1

の形で与えられる.

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【2】Dnの局所幾何学

[1]n−1次元正単体2^n-1個とn−1次元半立方体2n個からなる.

[2]2^n-1+2n胞体.

[3]ファセットが,各頂点まわりのn=(n,1)個ずつ集まる.

[4]n−2次元正単体が,各頂点まわりの2(n,2)個

   n−2次元半立方体が,各頂点まわりの(n,2)個集まる.

[5]n−3次元正単体が,各頂点まわりの3(n,3)個

   n−3次元半立方体が,各頂点まわりの(n,3)個集まる.

[6]n−k次元正単体が,各頂点まわりのk(n,k)個

   n−k次元半立方体が,各頂点まわりの(n,k)個集まる.

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