正八面体の半分の正四角錘の辺を黄金比に分割すれば，正五角形が得られる．

　正八面体の辺を黄金比に分割すれば，正２０面体が得られるが，五角錘を切り取ったところに正五角形ができるというわけである．

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　正八面体の頂点を

　　（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）

とする．

　　τ：１＝１／τ：１／τ^2

　　Ａ（１／τ^2，０，１／τ）

　　Ｂ（０，１／τ，１／τ^2）

　　Ｃ（−１／τ，１／τ^2，０）

　　Ｄ（−１／τ，−１／τ^2，０）

　　Ｅ（０，−１／τ，１／τ^2）

とすると

ＡＢ^2＝１／τ^4＋１／τ^2＋（１／τ−１／τ^2）^2

＝ＢＣ^2＝ＤＥ^2＝ＥＡ^2

ＣＤ^2＝４／τ^4

１／τ^4＋１／τ^2＋（１／τ−１／τ^2）^2

＝２／τ^4＋２／τ^2−２／τ^3

１／τ^2−１／τ^3＝１／τ^2（１−１／τ）＝（τ−１）／τ^3

τ−１＝１／τより，

ＡＢ^2＝１／τ^4＋１／τ^2＋（１／τ−１／τ^2）^2

＝ＢＣ^2＝ＤＥ^2＝ＥＡ^2＝ＣＤ^2＝４／τ^4

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