ルーパート王子が，与えられた立方体を通り抜ける最大の立方体を通り抜ける最大の立方体を求めよという問題を出した．つまり立方体の正方形状のトンネルを掘ってなるべく大きな立方体を通するわけであるから，立方体の最大正方形断面を求めよという問題と同値である．

　立方体の８個の頂点を（±１，±１，±１）とし，立方体の主対角線と平行ではない平面：ｘ＋ｙ／２＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　Ａ（−１／２，−１，１）

　　Ｂ（−１，１，１／２）

　　Ｃ（１／２，１，−１）

　　Ｄ（１，−１，−１／２）

　これらは１辺の長さ３√２／２の正方形となる．１辺の長さを１にすると

　　３√２／４＝１．０６０６６０・・・

　これは立方体に１辺の長さより少し長く，いいかえるとこの少し大きい立方体が元の立方体を貫通するのである

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　正方形面（１，１／２，１）に垂直な平面を考える．ＣＢ，ＣＤに垂直な平面は

　　ＣＢ（−３／２，０，３／２）

　　ＣＤ（１／２，−２，１／２）

であるから，それぞれ，

　　−３ｘ／２＋３ｚ／２＝ｃ

　　ｘ／２−２ｙ＋ｚ／２＝ｃ

　点Ｃ（１／２，１，−１）を通るとき，それぞれの平面は

　　−３ｘ／２＋３ｚ／２＝−９／４

　　ｘ／２−２ｙ＋ｚ／２＝−９／４

　直線ｘ＝１，ｙ＝１との交点は

　　−３／２＋３ｚ／２＝−９／４→ｚ＝−１／２

　　１／２−２＋ｚ／２＝−９／４→ｚ＝−３／２　　（ＮＧ）

したがって，（１，１，−１／２）すなわち稜の１／４点を通る．

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　なお，直線ｘ＝１，ｚ＝−１との交点は

　　−３／２−３／２＝−９／４→ＮＧ

　　１／２−２ｙ−１／２＝−９／４→ｙ＝−９／８　　（ＮＧ）

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