■ナルシスト数の変種?

1^7+4^7+4^7+5^7+9^7+9^7+2^7+9^7=14459929   (7ナルシスト数)

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1^3+5^3+3^3=153

のように

100a+10b+c=a^3+b^3+c^3となる数を3ナルシスト数,

10^3a+10^2b+10c+d=a^4+b^4+c^4+d^4となる数を4ナルシスト数,

10^4a+10^3b+10^2c+10d+e=a^5+b^5+c^5+d^5+e^5となる数を5ナルシスト数というのだそうである.

 nナルシスト数はn≦60のときしか存在しない.なぜなら,

  n・9^n<10^n-1

  logn+nlog9<n−1

  logn+.964243n<n−1

n=61のとき,左辺59.9941,右辺60

となるからである.

 ナルシスト数は全部で88個あることが証明されている.n=2ではナルシスト数は存在しない.n=4では1634,8208,9474.n=5では54748,92727,93084.n=6では548834.

 その最も大きなものは39桁の数,

115132219018763922565095597973971522401

2番目に大きいものは同じく39桁の数,

115132219018763922565095597973971522400

である.

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 それに対して,

  5+1+2=8

  512=8^3

のように

  100a+10b+c=(a+b+c)^3

の解は「デュドニー数」と呼ばれているとのことである.

 デュドニー数は6つしかないとされていて,残りの5つは

  0+0+1=1,  1=1^3

  4+9+1+3=17,  4913=17^3

  5+8+3+2=18,  5832=18^3

  1+7+5+7+6=26,  17576=26^3

  1+9+6+8+3=27,  19683=27^3

[参]伊庭斉志「数理パズル」コロナ社

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