■オイラーの素数生成式(その32)

【1】オイラーの素数生成式

 オイラーの有名な素数生成式

  n^2+n+41

は,n=0のとき素数41,n=1で素数43,n=2で素数47を与えます.このようにしてnが0から39までのどのnをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます.

 41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,

 151,173,197,223,251,281,313,347,

 383,421,461,503,547,593,641,691,

 743,797,853,911,971,1033,1097,1163,

 1231,1301,1373,1447,1523,1601

オイラーの公式はn=40で1681=41^2となって破綻しますが,この式でこれほどたくさんの素数を作れるということは大変奇妙に感じられます.1000万以下のnに対して47.5%の確率で素数を生成します.

 また,オイラーは,2次多項式

  fq(x)=x^2+x+q

において,qが素数

  2,3,5,11,17,41

のとき,0からq−2を代入すると

  fq(0),fq(1),・・・,fq(q−2)

>がすべて素数になることを観察しています.(fq(q−1)=q^2は素数ではありません.)

 しかし,素数

  7,13,19,23,29,31,37

に対して,このことは成立しません.

  f7(1)=9,f13(1)=15,f19(1)=21,f23(1)=25,

  f29(2)=34,f31(1)=33,f37(1)=39

 これらの事実を確認するのは簡単ですが,しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか.また,そうなる真の理由は何なのでしょうか.

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