［Ｑ］２以上の自然数の４乗は２つの三角数の和になる．

　（その１１）に倣った［？な証明］を紹介したい．

　８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表せませんが，同様にして，４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表されない．

　（４ｎ＋３）でない数は２平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋２＝ｘ^2＋ｙ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　しかし，これでは４乗数という仮定がまったく使われていない．

［１］Ｎ＝２ｋのとき

Ｎ^4＝（２ｋ）^4

［２］Ｎ＝２ｋ＋１のとき

Ｎ^4＝（２ｋ＋１）^4＝（２ｋ）^4＋４（２ｋ）^3＋６（２ｋ）^2＋４（２ｋ）＋１

　自然数の４乗を４で割ったときの余りは０か１であるから，これは２つの平方数の和に書ける．しかし，自然数の４乗を８で割ったときの余りは０か１であるから，

　　８ｎ＋２＝ｘ^2＋ｙ^2

とは書けないことになる．さて，どうすべきか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝