［Ｑ］偶数の完全数は三角数である．

［Ａ］２^n-1（２^n−１）＝２^n（２^n−１）／２

　これは最初の（２^n−１）個の自然数であるから，定義より三角数である．

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［Ｑ］９^0＋９^1＋９^2＋・・・＋９^n-1は三角数である．

［Ａ］９^0＋９^1＋９^2＋・・・＋９^n-1＝（９^n−１）／（９−１）

　　Ｎ（Ｎ＋１）／２＝（９^n−１）／（９−１）

　　Ｎ（Ｎ＋１）＝（９^n−１）／４

　　Ｎ＝１／２・｛−１＋√（１−１＋９^n）｝＝（３^n−１）／２

とおけばよい．

　　１＋９＝１０＝４（４＋１）／２

　　１＋９＋８１＝９１＝１３（１３＋１）／２

　　１＋９＋８１＋７２９＝８２０＝４０（４０＋１）／２

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　９でなく４の場合を考えてみよう．

［Ａ］４^0＋４^1＋４^2＋・・・＋４^n-1＝（４^n−１）／（４−１）

　　Ｎ（Ｎ＋１）／２＝（４^n−１）／（４−１）

　　Ｎ（Ｎ＋１）＝２（４^n−１）／３

　　Ｎ＝１／２・｛−１＋√（１−８（４^n−１）／３｝

となって，うまくいかない．

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