■ほとんど完全数(その7)

  60=2^2・3・5であるから,約数の数は3・2・2=12である.n(約数の数)で表すと

  2(2),4(3),6(4),12(6),24(8),

  36(9),48(10),60(12),120(16),

  180(18),240(20),360(24),720(30),

  840(32),1260(36),1680(40),

  2520(48),5040(60),・・・

 100以下の整数で約数の数が最大になるのは,60,72,90の3個で,約数の数は12である.

  60=2^2×3^1×5^1

  72=2^3×3^2

  90=2×3^2×5^1

しかし,120までは約数の個数は更新されないのである.

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【1】約数の個数を更新する合成数

 高次合成数2,4,6,12,24,36,48,60,120,・・・には何かパターンがあるのだろうか? ラマヌジャンはそれを発見したのである.

  n=2^a2×3^a3×5^a5×7^a7×・・・×p^ap

高次合成数24,60は

  24=2^3×3^1,a2=3,a3=1

  60=2^2×3^1×5^1,a2=2,a3=1,a5=1

のように表せる.

 また,

  4324320=2^5×3^3×5×7×11×13

  6746328388800=2^6×3^4×5^2×7^2×11×13×17×19×23,a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1

 a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1は最後の指数は1になることを示しているが,無数にある高次合成数のなかでただ2つの例外がある.

  4=2^2,36=2^2×3^2

しかし,2^3×3^4×・・・というものは決して存在しない.初等的ではあるが独創的な洞察である.

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