■ほとんど完全数(その2)

[Q]偶数の完全数は三角数である.

[A]2^n-1(2^n−1)=2^n(2^n−1)/2

 これは最初の(2^n−1)個の自然数であるから,定義より三角数である.

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 ところで,2^n×2^n−1=4^n−1=(4−1)(4^n-1+4^n-2+・・・+1)であるから,2^n×2^n−1は3で割り切れる.

  2^n×2^n=1  (mod3)

  2^n=+1,2^n-1=−1  (mod3)

  2^n=−1,2^n-1=+1  (mod3)

 2^n−1は素数であるから,

  2^n−1=−2=1,2^n-1=+1  (mod3)

 したがって,6を除く偶数の完全数を9で割ると1あまる.

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 6を除く偶数の完全数は1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+・・・の部分和となる.

  28=1^3+3^3

  496=1^3+3^3+5^3+7^3

  1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+・・・

=1^3+3^3+5^3+・・・+(2n+1)^3−2^3{1^3+2^3+3^3+・・・+n^3}

={{2n+1)(2n+2)/2}^2−2^3{n(n+1)/2}^2

={(n+1)(2n+1)}^2−2{n(n+1)}^2

=(n+1)^2(2n^2+4n+1)

 n=1のとき,28

 n=3のとき,496

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  (n+1)^2(2n^2+4n+1)

=(n^2+2n+1)(2n^2+4n+1)

(n^2+2n+1)=2^k-1

(2n^2+4n+1)=2^k−1

 この観点からいえば,完全数の問題は

[1](2n^2+4n+1)=2(n+1)^2−1

[2]2(n+1)^2−1=2^k−1→n+1=2^(k-1)/2

型の素数を見つける問題となる.

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