■ほとんど素数(その1)

 概素数(素因数を2つしかもたない合成数)について知られている定理を紹介します.まずは真の素数から・・・

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【1】素数定理

 素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが,18世紀から19世紀にまたがって活躍したガウスは,「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え,素数定理を予想しました(1792年:ガウスは当時15才であった).

 素数定理とは,

  π(x)〜x/logx   (x→∞)

というものです.ここで,π(x)は任意の整数xを越えない素数の個数を表すものとします.素数定理は,xを超えない素数の個数を与える近似的な公式ですが,”〜”記号は漸近的に等しい,すなわちxが十分大きいとき両者の比が1に近づくという意味であって,両者の差がなくなるという意味ではありません.いいかえれば,この近似式の絶対誤差はxの増大とともに増大するが,相対誤差は減少する,つまり,左辺と右辺の比はxを∞にすると極限が存在して0でも無限大でもなく,1に収束する,

  π(x)/(x/logx)〜1   (x→∞)

ということです.xに近い2つの連続した素数間の平均距離はおよそlogxだといってもよいでしょう.

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【2】概素数定理?

 さらに,ガウスは対数表の裏表紙に

  2つの素因数をもつ数〜(loglogx)・x/logx   (x→∞)

  3つの素因数をもつ数〜1/2(loglogx)^2・x/logx   (x→∞)

<P />と書き込んだことが伝えられています.素因数を2つしかもたない合成数は概素数ということができるので,概素数定理?と呼ぶことにします.

 これらを合わせると,

  x/logx・{1+loglogx+1/2(loglogx)^2+・・・}〜x   (x→∞)

すなわち,

  1+loglogx+1/2(loglogx)^2+・・・→logx   (x→∞)

が成り立たなければなりませんが,

  expx〜1+x+x^2/2・・・・

  x←loglogxを代入すると

  logx〜1+logxlogx+1/2(loglogx)^2+・・・

となることが示されます.

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