■等面単体の体積(その333)

 n=4の本体では,

  P0(1/2,(√5)/2,0,(√10)/2)

  P1(0,0,0,0)

  P2(2,0,0,0)

  P3(3/2,(√5)/2,(√10)/2,0)

  P4(1,√5,0,0)

の,P4を外した場合は

P4=P3+uP4P0=(3/2,(√5)/2,(√10)/2,0)+u(1/2,(√5)/2,0,−(√10)/2)

であるから,これらを通るベクトルs(3/2,(√5)/2,0,−(√10)/2)を考える.

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 P1を通り,このベクトルと直交する平面は

  x+y√5−w√10=0

である.

 P0を通るベクトルとの交点は,z=0

  (x−1/2)=(y−(√5)/2)/√5=−(w−(√10)/2))/√10=k

  x=1/2+k

  y=√5/2+k√5

  w=√10/2−k√10

 x+y√5−w√10=0に代入すると

  1/2+k+5/2+5k−5+10k=0

  −2+16k=0,k=1/8→x=5/8,y=5√5/8,w=3√10/2

  Q0(5/8,5√5/8,0,3√10/8)

 P1を通るベクトルとの交点は,z=0

  x=y/√5=−w/√10=k

  x=k

  y=k√5

  w=−k√10

 x+y√5−w√10=0に代入すると

  k+5k+10k=0

  k=0→x=0,y=0,w=0

  Q1(0,0,0,0)

 P2を通るベクトルとの交点は,z=0

  (x−2)=y/√5=−w/√10=k

  x=2+k

  y=k√5

  w=−k√10

 x+y√5−w√10=0に代入すると

  2+k+5k+10k=0

  k=−1/8→x=15/8,y=−√5/8,w=√10/8

  Q2(15/8,−√5/8,0,√10/8)

 P3を通るベクトルとの交点は,z=√10/2

  (x−3/2)=(y−√5)/√5=−w/√10=k

  x=3/2+k

  y=√5/2+k√5

  z=−k√10

 x+y√5−w√10=0に代入すると

  3/2+k+5/2+5k+10k=0

  k=−1/4→x=5/4

  y=√5/2−√5/4=√5/4

  w=√10/4

  Q3(5/4,√5/4,√10/2,√10/4)

 P4を通るベクトルとの交点は,z=0

  (x−1)=(y−√5)/√5=−w/√10=k

  x=1+k

  y=√5+k√5

  z=−k√10

 x+y√5−w√10=0に代入すると

  1+k+5+5k+10k=0

  k=−3/8→x=5/8,

  y=√5−5√5/8=3√5/8

  w=3√10/8

  Q4(5/8,3√5/8,0,3√10/8)

=Q0(5/8,5√5/8,0,3√10/8)

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