３次元単体柱と４次元展開図柱の断面はいずれも正三角形であった．構成が進んで，次の課題は４次元単体柱と５次元展開図柱の断面を比較することである．

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　ｎ＝４の本体では，

　　Ｐ0（１／２，（√５）／２，０，（√１０）／２）

　　Ｐ1（０，０，０，０）

　　Ｐ2（２，０，０，０）

　　Ｐ3（３／２，（√５）／２，（√１０）／２，０）

　　Ｐ4（１，√５，０，０）

を通るベクトルｓ（１／２，（√５）／２，０，（√１０）／２）を考える．

　Ｐ1を通り，このベクトルと直交する平面は

　　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０

である．

　Ｐ0を通るベクトルとの交点は，ｚ＝０

　　（ｘ−１／２）＝（ｙ−（√５）／２）／√５＝（ｗ−（√１０）／２））／√１０＝ｋ

　　ｘ＝１／２＋ｋ

　　ｙ＝√５／２＋ｋ√５

　　ｚ＝√１０／２＋ｋ√１０

　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０に代入すると

　　１／２＋ｋ＋５／２＋５ｋ＋５＋１０ｋ＝０

　　８＋１６ｋ＝０，ｋ＝−１／２→ｘ＝０，ｙ＝０，ｗ＝０

　　Ｑ0（０，０，０，０）

　Ｐ1を通るベクトルとの交点は，ｚ＝０

　　ｘ＝ｙ／√５＝ｗ／√１０＝ｋ

　　ｘ＝ｋ

　　ｙ＝ｋ√５

　　ｗ＝ｋ√１０

　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０に代入すると

　　ｋ＋５ｋ＋１０ｋ＝０

　　ｋ＝０→ｘ＝０，ｙ＝０，ｗ＝０

　　Ｑ1（０，０，０，０），Ｑ0と一致するのは当然である．

　Ｐ2を通るベクトルとの交点は，ｚ＝０

　　（ｘ−２）＝ｙ／√５＝ｗ／√１０＝ｋ

　　ｘ＝２＋ｋ

　　ｙ＝ｋ√５

　　ｗ＝ｋ√１０

　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０に代入すると

　　２＋ｋ＋５ｋ＋１０ｋ＝０

　　ｋ＝−１／８→ｘ＝１５／８，ｙ＝−√５／８，ｗ＝−√１０／８

　　Ｑ2（１５／８，−√５／８，０，−√１０／８）

　Ｐ3を通るベクトルとの交点は，ｚ＝√１０／２

　　（ｘ−３／２）＝（ｙ−√５）／√５＝ｗ／√１０＝ｋ

　　ｘ＝３／２＋ｋ

　　ｙ＝√５／２＋ｋ√５

　　ｚ＝ｋ√１０

　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０に代入すると

　　３／２＋ｋ＋５／２＋５ｋ＋１０ｋ＝０

　　ｋ＝−１／４→ｘ＝５／４

　　ｙ＝√５／２−√５／４＝√５／４

　　ｗ＝−√１０／４

　　Ｑ3（５／４，√５／４，√１０／２，−√１０／４）

　Ｐ4を通るベクトルとの交点は，ｚ＝０

　　（ｘ−１）＝（ｙ−√５）／√５＝ｗ／√１０＝ｋ

　　ｘ＝１＋ｋ

　　ｙ＝√５＋ｋ√５

　　ｚ＝ｋ√１０

　ｘ＋ｙ√５＋ｗ√１０＝０に代入すると

　　１＋ｋ＋５＋５ｋ＋１０ｋ＝０

　　ｋ＝−３／８→ｘ＝５／８，

　　ｙ＝√５−５√５／８＝３√５／８

　　ｗ＝−３√１０／８

　　Ｑ4（５／８，３√５／８，０，−３√１０／８）

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