■等面単体の体積(その270)

 (その242)〜(その269)の検討によって,n空間充填等面単体自身もその展開図も,柱状空間充填することが示唆されたが,高次元までそれを追跡することは困難である.

 また,三角柱の内部にあるのは

△ABC,(2,2,√6)

△BCD,(2,2,√6)

 三角柱の表面にあるのは

△ABD,(2,√6,√6)

△ACD,(2,√6,√6)

 したがって,底面に選ぶべきものは前者である.これはこの三角柱に(√3,√3,2)の等面単体が内接することからも,ある程度予想できることと思われる.

[1]n=4のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=P3P4=2

  P0P2=P1P3=P2P4=√6

  P0P3=P1P4=√6

  P0P4=2

[2]n=5のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=√5

  P0P2=P1P3=P2P4=P3P5=√8

  P0P3=P1P4=P2P5=3

  P0P4=P1P5=√8

  P0P5=√5

[3]n=6のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=√6

  P0P2=P1P3=P2P4=P3P5=P4P6=√10

  P0P3=P1P4=P2P5=P3P6=√12

  P0P4=P1P5=P2P6=√12

  P0P5=P1P6=√10

  P0P6=√6

[4]n=7のとき

  P0P1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=√7

  P0P2=P1P3=P2P4=P3P5=P4P6=P5P7=√12

  P0P3=P1P4=P2P5=P3P6=P4P7=√15

  P0P4=P1P5=P2P6=P3P7=4

  P0P5=P1P6=P2P7=√15

  P0P6=P1P7=√12

  P0P7=√7

 等面四面体のファセットは等面であるから計算は簡単であったが,等面五胞体のファセットは等面ではないから計算は難渋した.これらを高次元に拡張できることはイメージできているが,構成的でない証明が必要とされると思われる.

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