三方向から見て，○△□に見える図形は何か？という問題がある．これに対しては，○△□の平面を組み合わせればよい．それに肉付けした図形，たとえば，円柱を山形に切った図形も答えとなる．それでは，

［Ｑ］三方向から見て，□□□に見える立方体以外の凸図形は何か？

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［Ａ］この場合も□□□の平面を直交させて組み合わせればよい．８つの象限ができるが，それに肉付けした図形が答えとなる．立方体に内接するものには１０数通りの組み合わせが考えられる．その極小図形は正四面体である．

　一方，立方体に外接するものとしては菱形１２面体なども答えとなるから，結構奥が深いかもしれない．

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　ところで，立方体の中に正四面体をその頂点が立方体の頂点となりその辺が立方体の面の対角線になるように内接させることができる．これと同様に，立方体の頂点が正１２面体の頂点となり，立方体の各辺が正１２面体の面上にあるように正１２面体の中に立方体を内接させることができる（このような８頂点の選び方は合計５通りある）．

　このことによって

(1)正４面体群は正８面体群の部分群である

(2)正８面体群は正２０面体群の部分群である

ことが直ちにわかる．

　　Ａ4＜Ｓ4＜Ａ5

というわけである．

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　頂点を利用した

　　正四面体＜立方体＜正１２面体

の図はよく見かけるのに対して，頂点を利用した

　　正四面体＜立方体＜菱形１２面体

の図は見たことがないが，体積比は１／３：１：２＝１：３：６になっている．

［Ｑ］何かおもしろい性質を見出すことはできないだろうか？

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