■基本単体の二面角(その262)

 ユクリッド空間の格子については,基本単体の頂点座標がわかっているので,(R/ρ)^2を計算して正しいことが確かめられている.たとえば,・・・

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【1】E8格子の場合

  P1(1,0,0,0,0,0,0,0)

  P8(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,1/√12,1/2,0)

  P8(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,0,0,1/3)

が正しいとすると・・・

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 R^2=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/12+1/4

=(180+60+30+18+12+15+45)/180

=360/180=2

 ρ^2=1

 E8では(R/ρ)^2=2なのでOK.

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【2】E7格子の場合

  P1(1,0,0,0,0,0,0)

  P7(1,1/√3,1/√6,1/√6,1/√3,1,0)

  P7(1,1/√3,1/√6,1/√6,0,0,1/2)

が正しいとすると・・・

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 R^2=1+1/3+1/6+1/6+1/3+1

=(6+2+1+1+2+6)/6=3

 ρ^2=1

 E7では(R/ρ)^2=3なのでOK.

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【3】E6格子の場合

  P1(1,0,0,0,0,0,0)

  P6(1,1/√3,1/√3,1,0,0)

  P6(1,1/√3,0,0,1/√3,1)

が正しいとすると・・・

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 R^2=1+1/3+1/3+1

=(3+1+1+3)/3=8/3

 ρ^2=1

 E6では(R/ρ)^2=8/3なのでOK.

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【4】Dn格子の場合

  P1(1,0,0,0,0,0,0,・・・)

  Pn(1,0,1/√2,・・・,1/√2,1,0)

  Pn(1,0,1/√2,・・・,1/√2,0,1)

  Pn(0,1,1/√2,・・・,1/√2,1,0)

  Pn(0,1,1/√2,・・・,1/√2,0,1)

が正しいとすると・・・

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 R^2=1+1/2+・・+1/2+1

=(n−4)/2+2=n/2

 ρ^2=1

 Dnでは(R/ρ)^2=n/2なのでOK.

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