［３］単位球に内接する等面四面体の双対を［ａ~，ｂ~，ｃ~］で表すと，

　　ａ~^2＝４−１６λ^2／（４−ｃ^2）

　　ｂ~^2＝４−１６λ^2／（４−ｂ^2）

　　ｃ~^2＝４−１６λ^2／（４−ａ^2）

　　１／λ^2＝４／（４−ａ^2）＋４／（４−ｂ^2）＋４／（４−ｃ^2）

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　３辺の長さがａ，ｂ，ｃである三角形４枚からなる等面四面体を直方体（λ，μ，ν）に内接させる．

　　λ^2＋μ^2＝ａ^2

　　μ^2＋ν^2＝ｂ^2

　　ν^2＋λ^2＝ｃ^2

より，

　　λ^2＝（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）／２，μ^2＝（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）／２，ν^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／２

　　λ^2＋μ^2＋ν^2＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／２

　　Ｖ＝λμν−４λμν／６＝λμν／３＝｛（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）｝1/2／６√２

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　平面：ｘ／（λ／２）＋ｙ／（μ／２）＋ｚ／（ν／２）＝１

までの距離ｄは，

　ｄ＝１／｛１／（λ／２）^2＋１／（μ／２）^2＋１／（ν／２）^2｝^1/2

で表される．

　垂線の足はｘ／（λ／２）＝ｙ／（μ／２）＝ｚ／（ν／２）＝ｋとの交点であるからｋ＝１／３

　　Ｐ1（λ／６，μ／６，ν／６）

他の垂線の足は

　　Ｐ2（−λ／６，−μ／６，ν／６）

　　Ｐ3（λ／６，−μ／６，−ν／６）

　　Ｐ4（−λ／６，μ／６，−ν／６）

Ｐ1Ｐ2^2＝（λ^2＋μ^2）／９＝ａ^2／９

Ｐ1Ｐ3^2＝（μ^2＋ν^2）／９＝ｂ^2／９

Ｐ1Ｐ4^2＝（ν^2＋μ^2）／９＝ｃ^2／９

　求めたいａ~，ｂ~，ｃ~はこれではない．

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