横浜桐蔭学園の富永正治先生より、土曜日に実施されたトーマス（桐蔭学園数学オリンピック）の問題が送られてきた。

富永先生の解説とともに紹介したい。

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Nを自然数とするとき、自然数x,y,z,uについて２つの方程式

[1]x^2+y^2+z^2=xyz

[2]x^2+y^2+z^2+u^2=Nxyzu

について、次の問いに答えよ。

[Q][1]を満たす(x,y,z)のうち、x=y=zを満たすものとx=y≠zを満たすものをそれぞれ求めよ

x=y=z→3x^2=x^3→x=3→(x,y,z)=(3,3,3)

x=y=3→18+z^2=9z→z=6→(x,y,z)=(3,3,6)

[Q][1]を満たす(x,y,z)は無限に存在する。そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

(3,3,3)→(3,3,6)→(3,6,15)→(3,15,39)→(3,39,102)などなど

[Q][2]を満たす(x,y,z,u)が無限に存在するようなNを1つ求め、そのときに(x,y,z,u)が無限に存在することを証明せよ

[Q][2]を満たす(x,y,z,u)は無限に存在する。そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

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