横浜桐蔭学園の富永正治先生より、土曜日に実施されたトーマス（桐蔭学園数学オリンピック）の問題が送られてきた。

富永先生の解説とともに紹介したい。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

集合A={1,3,8}は異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になるという条件を満たす（ディオファントスの３組）。

1・3+1=4

1・8+1＝9

3・8+1=25

第４の要素として正の整数xを追加した集合B={1,3,8,x}も同じ条件を満たす（フェルマーの4組）。

このようなxはただ一つ存在することが知られている。xを求めよ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x+1,3x+1,8x+1がすべて平方数となることが必要十分条件であるから、

x+1=u^2とおくと、3x+1=3u^2-2,8x+1=8u^2-7

x＞1よりu＞=2

u^2=4,9,16,・・・

3u^2-2、8u^2-7がともに平方数となるのはu=11→x=120

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

富永先生の解説によると、

[1]3u^2-2、8u^2-7がともに平方数となるuがただひとつであることを示すのは高校数学を大きく超えるので、問題文に与えることにした。

A. Baker and H. Davenport, The equations 3x^2-2=y^2 and 8x^2-7=z^2

Quart. J. Math. Oxford Ser(2), 20,1969,129-137

[2]異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になる集合を考えるのは、ディオファントスにとって提唱された数学の問題である。異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になるはこのような集合の有理数の例として {1/16,33/16,17/4,105/16} を得ていた。集合の要素を正の整数に限った場合、この条件を満たす集合{a1,a2,・・・,am}をディオファントスのｍ組という。

[3]フェルマーはこのディオファントスのm組に対して{1,3,8}からスタートして４番目の要素120を得た。{1,3,8,120}はフェルマーの４組と呼ばれる。

[4]実はこの {1,3,8}はフィボナッチ数列Fn={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,・・・}の連続する３つの偶数項であり、これらがディオファントスの3組となることはカッシーニの公式やその拡張により一般的に証明できる。すなわち、n＞=2に対して、集合{F2n-2,F2n,F2n+2}はディオファントスの3組であり、x=4Fn-1F2nF2n+1をついかすることで、ディオファントスの4組に拡張できる。各自、研究してみよ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝