横浜桐蔭学園の富永正治先生より、土曜日に実施されたトーマス（桐蔭学園数学オリンピック）の問題が送られてきた。

富永先生の解説とともに紹介したい。

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集合A={1,3,8}は異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になるという条件を満たす（ディオファントスの３組）。

1・3+1=4

1・8+1＝9

3・8+1=25

第４の要素として正の整数xを追加した集合B={1,3,8,x}も同じ条件を満たす（フェルマーの4組）。

このようなxはただ一つ存在することが知られている。xを求めよ

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x+1,3x+1,8x+1がすべて平方数となることが必要十分条件であるから、

x+1=u^2とおくと、3x+1=3u^2-2,8x+1=8u^2-7

x＞1よりu＞=2

u^2=4,9,16,・・・

3u^2-2、8u^2-7がともに平方数となるのはu=11→x=120

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