Ｓ0（ｎ）＝Σ（ｎ，３ｋ）

　　Ｓ1（ｎ）＝Σ（ｎ，３ｋ＋１）

　　Ｓ2（ｎ）＝Σ（ｎ，３ｋ＋２）

　　Ｓ1（ｎ）＋Ｓ2（ｎ）＋Ｓ3（ｎ）＝２^n

と

　　切り下げ［２^n／３］，切り上げ「２^n／３」の間の関係式を求めたい．

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　漸化式

　　Ｓk（ｎ＋１）＝Ｓk（ｎ）＋Ｓx（ｎ），ｘ＝（ｋ−１）ｍｏｄ３

より，Ｓのうちふたつは等しく，Ｓy（ｎ），ｙ＝−ｎｍｏｄ３はこれらから（−１）^nだけ違っている．

　これらは２^nをできるだけ均等に分割するので，

　　「２^n／３」は２^nｍｏｄ３回

　　［２^n／３］は３−２^nｍｏｄ３回

現れる．

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nが奇数のとき、Jn=［２^n／３］、２^n／３＜Jn＜２^n／３+1

nが偶数のとき、Jn=「２^n／３」、２^n／３-1＜Jn＜２^n／３

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ヤコブスタール数は2^nから2^(n+1)までの整数で、3で割り切れるものの個数に一致する

n=1: 3

n=2:6

n=3,9,12,15

n=4:18,21,24,27

n=5:33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63

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cn=[(2^n+1-1)/3]-[(2^n-1)/3]

ｎが奇数のとき

cn=(2^n+1-1)/3-(2^n-2)/3={2^n-(-1)^n}/3=Jn

ｎが偶数のとき

cn=(2^n+1-2)/3-(2^n-1)/3={2^n-(-1)^n}/3=Jn

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