【２】デカルトの円定理

たがいに接する3個の円に接する第4の円を描くことができる。・・・

六斜術の公式をさらに変形すると，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ）^2＝２（１／ａ^2＋１／ｂ^2＋１／ｃ^2＋１／ｄ^2）　　　（デカルトの円定理）

が得られます．あるいは，曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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［Ｑ］３つの互いに接している円の半径をr1,r2,r3とし、それらの中心がピタゴラス三角形をなすとき、第４の円の半径R,rを求めよ

［Ａ］a=Fn,b=Fn+1,c=Fn+2,d=Fn+3　

　　(c^2-b^2)+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2　

r1+r2=c^2-b^2,r2+r3=c^2+b^2,r3+r1=2bc

r1=b(c-b)=ab,r2=c(c-b)=ac,r3=b(c+b)=bd

r1r2r3=a^2b^2cd,r2r2=a^2bc,r2r3=abcd,r3r1=ab^2d

r1+r2+r3=cd

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ところで、

（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．

（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝

（Ａ）R＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1-２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝

より、

R=a^2b^2cd/{a^2bc+ab^2d-abcd)=abcd/(ac+bd-cd)

=abcd/{ac-d(c-b)}=abcd/(ac-ad)=abcd/ab=cd

r=a^2b^2cd/{a^2bc+ab^2d+3abcd)=abcd/(ac+bd+3cd)

=abcd/{4cd-ab}

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r1=FnFn+1,r2=FnFn+2,r3=Fn+1Fn+3

R=Fn+2Fn+3

r=FnFn+1Fn+2Fn+3/{4Fn+2Fn+3-FnFn+1}

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