【２】デカルトの円定理

たがいに接する3個の円に接する第4の円を描くことができる。・・・

六斜術の公式をさらに変形すると，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ）^2＝２（１／ａ^2＋１／ｂ^2＋１／ｃ^2＋１／ｄ^2）　　　（デカルトの円定理）

が得られます．あるいは，曲率（半径の逆数）をａ，ｂ，ｃ，ｄとおくと，平面上の互いに接し合う４つの円の間に関係式

　　２（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2

が成り立つ（ひとつの円の内側に他の３円が内接しているときが負号をつける）．

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［Ｑ］４つの互いに接している円の半径が等比数列1,r,r^2,r^3をなすとき、ｒを求めよ。

［Ａ］　　（１＋１／r＋１／r^2＋１／r^3）^2＝２（１＋１／r^2＋１／r^4＋１／r^6）　

　　(1+r+r^2+r^3)^2＝2(1+r^2+r^4+r^6)　

　　(r^2+1)(r^4-2r^3-2r^2-r+1)=0

r^4-2r^3-2r^2-r+1=0

もし、νが１つの解ならば1/νも解となる。(r-ν)(r-1/ν)=r^2-κr+1,κ=ν+1/ν

r^4-2r^3-2r^2-r+1=(r^2-κr+1)(r^2+(κ-2)r+1)

係数を比較してκ^2-2κ-4=0→κ=1+√5 =2α

rはr^2-2αr+1=0の解→r=α±√α=2.89005,0.34601

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