ペル方程式x^2-(a^2-1)y^2=1,v=yn(a)を満たすv,a,nが与えられているとする。

xn(a)=Tn(a), yn(a)=Un-1(a)で与えられる

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このとき以下の方程式が正の整数解を持つ必要十分条件である。

n+(j-1)=v

p+(a-1)q=v+r

g=v+t

p^2-(a^2-1)q^2=1

h+(a+1)g=b(p+(a+1)q)^2

h+(a-1)g=c(p+(a-1)q)^2

h^2-(a^2-1)g^2=1

m=z(h+(a+1)g)+a

m=f(p+(a-1)q)+1

x^2-(m^2-1)y^2=1

y=(d-1)(p+(a-1)q)+n

y=(e-1)(h+(a+1)g)+v

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η=ξ^nのとき

xn(a)-yn(a)(a-y)=y^n (mod 2ay-y^2-1)

xn(a)≧a^2

y＞1かつa＞y^nならば2ay-y^2-1＞y^n

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η=ξ^nを満たすη,ξ,nが与えられているとする。このとき以下の方程式が正の整数解を持つ必要十分条件である。

n+(j-1)=v

p+(a-1)q=v+r

g=v+t

p^2-(a^2-1)q^2=1

h+(a+1)g=b(p+(a+1)q)^2

h+(a-1)g=c(p+(a-1)q)^2

h^2-(a^2-1)g^2=1

m=z(h+(a+1)g)+a

m=f(p+(a-1)q)+1

x^2-(m^2-1)y^2=1

y=(d-1)(p+(a-1)q)+n

y=(e-1)(h+(a+1)g)+v

w^2-(a^2-1)v^2=1

w-v(a-ξ)=η+(α-1)(2aξ-ξ^2-1)

η+β=2aξ-ξ^2-1

ξ+γ=δ

u+ε=ο

a^2-(δ^2-1)-(δ-1)^2β~2=1

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