【１】Rothの定理

μ＞2のとき、|α-x/y|＜1/y^μ

を満たす整数(x,y)は有限個である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】Thueの定理

f(x,y)を有理数係数の既約なｎ≧3次同次式とする。このとき

f(x,y)=mを満たす整数(x,y)は有限個である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】Siegelの定理

f(x,y)を有理数係数の既約なｎ次多項式とする。種数を正とすれば、このとき

f(x,y)=0を満たす整数(x,y)は有限個である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

これらは解があるとすればそれは有限個であるというだけで、解の存否を示すものではない。それに対して、以下の場合はアルゴリズムが存在するのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】Bakerの定理

f(x,y)を有理数係数の既約なｎ次同次式とする。このとき

f(x,y)=mを満たす整数(x,y)はmax(|x|,|y|)＜C・exp(log|m|)^κを満たす

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】Bakerの定理

f(x,y)を有理数係数の既約なｎ次多項式とする。種数を1とすれば、このとき

f(x,y)=0を満たす整数(x,y)はmax(|x|,|y|)＜exp(exp(exp(2H)^10^n)を満たす

Hは係数の絶対値の最大値

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【６】Bakerの定理

y^m=a0x^n+a1x^n-1+・・・+an、方程式の右辺は少なくとも２個の単根を持つものとする

このとき,整数(x,y)はmax(|x|,|y|)＜exp(exp((5m)^10・(n^10nH)^n^2)を満たす

Hは係数の絶対値の最大値

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝