ほかにも忘れ去られたスペクトルがある可能性がある。

しかし、λ=(9-4/x^2)^1/2、あるいは一般にλ=(M^2-N^2/x^2)^1/2からxを求めるのは容易ではないだろう。

一番近道であると考えられる方法は

un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

を考える。もっとスマートな方法はないものか？

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{M^2(L^2-N^2)+M^3LN}が平方数□となることは必要である。

たとえば、M=3の場合、9(L^2-N^2)+27LN

9N^2-27LN-9L^2+□=0

N^2-3LN-L^2+□/9=0

□は9の倍数であるから、9、36、81、144、・・・

また、9L^2-4(-L^2+□/9)＞0

13L^2-4□/9＞0

13・9L^2＞4□

問題はNが整数になるかどうかである。

L=1とするとN^2-3N-1+□/9=0

□＝9→OK,N=3

□＝36→NG

□＝81→NG

□＝144→NG

L=2とするとN^2-6N-4+□/9=0

□＝9→NG

□＝36→OK,N=6

□＝81→NG

□＝144→NG

L=3とするとN^2-9N-9+□/9=0

□＝9→NG

□＝36→NG

□＝81→OK,N=9

□＝144→NG

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M=3のとき,N=MLが候補となる

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一般に

N^2-MLN-L^2+□/M^2=0が整数解を持つのは

-L^2+□/M^2=0,□=(ML)^2のとき、N=ML

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N^2-MLN+(√□/M+L)(√□/M-L)=0

-L^2+□/M^2＞0のとき

(√□/M+L)＞0，(√□/M-L)＞0

-(√□/M+L)-(√□/M-L)=ML

-2√□/M=MLはあり得ない

-L^2+□/M^2＜0のとき

(√□/M+L)＞0，(√□/M-L)＜0

|√□/M+L|＞|√□/M-L|

この場合も

-(√□/M+L)-(√□/M-L)=MLだが、

-2√□/M=MLはあり得ない

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