ほかにも忘れ去られたスペクトルがある可能性がある。

しかし、λ=(9-4/x^2)^1/2、あるいは一般にλ=(M^2-N^2/x^2)^1/2からxを求めるのは容易ではないだろう。

一番近道であると考えられる方法は

un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

を考える。もっとスマートな方法はないものか？

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{M^2(L^2-N^2)+M^3LN}が平方数□となることは必要である。

たとえば、M=2の場合、4(L^2-N^2)+8LN

4N^2-8LN-4L^2+□=0

N^2-2LN-L^2+□/4=0

□は、4,16,36,64、・・・

また、L^2-(-L^2+□/4)＞0

2L^2-□/4＞0

2L^2＞□/4

問題はNが整数になるかどうかである。

L=1とするとN^2-2N-1+□/4=0

□＝4→OK,N=2

□＝16→NG

□＝36→NG

□＝64→NG

L=2とするとN^2-4N-4+□/4=0

□＝4→NG

□＝16→OK,N=4

□＝36→NG

□＝64→NG

L=3とするとN^2-6N-9+□/4=0

□＝4→NG

□＝16→NG

□＝36→OK,N=6

□＝64→NG

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M=2のとき,N=MLが候補となる

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