ほかにも忘れ去られたスペクトルがある可能性がある。

しかし、λ=(9-4/x^2)^1/2、あるいは一般にλ=(M^2-N^2/x^2)^1/2からxを求めるのは容易ではないだろう。

一番近道であると考えられる方法は

un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

を考える。もっとスマートな方法はないものか？

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{M^2(L^2-N^2)+M^3LN}が平方数□となることは必要である。

たとえば、M=1の場合、(L^2-N^2)+LN

N^2-LN-L^2+□=0

N^2-LN-L^2+□=0

□は、1,4,9,16,、・・・

また、L^2-4(-L^2+□)＞0

5L^2-4□＞0

5L^2＞4□

問題はNが整数になるかどうかである。

L=1とするとN^2-N-1+□=0

□＝1→OK,N=1

□＝4→NG

□＝9→NG

□＝16→NG

L=2とするとN^2-2N-4+□=0

□＝1→NG

□＝4→OK,N=2

□＝9→NG

□＝16→NG

L=3とするとN^2-3N-9+□=0

□＝1→NG

□＝4→NG

□＝9→OK,N=3

□＝144→NG

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M=1のとき,N=MLが候補となる

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